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Formelsammlung und Berechnungsprogramme
Maschinen- und Anlagenbau

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Update:  21.11.2022

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Bewegungsschrauben Trapezgewinde

Umfassende Informationen, leichte Verständlichkeit und schnelle Nutzbar­keit der Auslegungs- oder Berechnungsgleichungen ermöglichen die sofortige Dimensionierung von Bauteilen.


Bewegungsgewinde Druckbelastung

Allgemeine Berechnungsgrundlagen für Schraubenverbindungen.


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Bewegungsschrauben

Bewegungsschrauben

Auslegungsdurchmesser

Bewegungsschrauben oder auch Gewindespindel genannt, dienen zum Umformen von Dreh- in Längsbewegungen oder zum Erzeugen großer Kräfte.
Bei Bewegungsgewinden werden hauptsächlich Trapezgewinde und teilweise Rundgewinde eingesetzt.
Verwendung finden Bewegungsschrauben unter anderem in Pressen, Hubwerken, Werkzeugmaschinen, Schraubstock, Ventilen, Schraubzwingen dgl.

Zugbeanspruchte und kurze druckbeanspruchte Bewegungsschrauben

Bei kurzen druckbeanspruchten Bewegungsschrauben ohne Knickgefahr und bei zugbeanspruchten Bewegungsschrauben errechnet sich der Kernquerschnitt nach folgender Formel.


Kerndurchmesser kurze Schraube
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
F   = Zug- bzw. Druckkraft (N)
σ d(z)zul = zul. Druck- Zugspannung (N/mm2)
ruhend: σ d(z)zul = R p0,2 / 1,5
Schwellend: σ d(z)zul = σ d(z)sch / 2,0
wechselnd: σ d(z)zul = σ d(z)w / 2,0
Festigkeitswerte

d 3 = Kerndurchmesser (mm)
F   = Zug- bzw. Druckkraft (N)
σ d(z)zul = zul. Druck- Zugspannung (N/mm2)
ruhend: σ d(z)zul = R p0,2 / 1,5
Schwellend: σ d(z)zul = σ d(z)sch / 2,0
wechselnd: σ d(z)zul = σ d(z)w / 2,0
Festigkeitswerte

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Lange druckbeanspruchte Bewegungsschrauben bei Knickgefahr

Lange Bewegungsschrauben die auf Druckbeansprucht werden, sind mit der folgenden Formel zu berechnen.
Der erforderliche Kerndurchmesser ergibt sich aus der Euler-Knickgleichung.


Kerndurchmesser lange Schraube
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
F   = Druckkraft (N)
L k = Knicklänge (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
S   = Sicherheit (-) bei Auslegungsrechnung ca. 6..8
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
F   = Druckkraft (N)
L k = Knicklänge (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
S   = Sicherheit (-) bei Auslegungsrechnung ca. 6..8
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Beanspruchungsarten


Die Bewegungsschrauben sind je nach Einsatzart auf folgende Beanspruchungen zu berechnen:
- Druckbeanspruchung
- Torsionsbeanspruchung
- Knickung


Spindel Schieber


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Beanspruchungen

Druckspannung

Die Bewegungsschrauben werden in den meisten Anwendungsfällen auf Druck beansprucht.


Druckspannung
σ d = Druckspannung (N/mm²)
F   = Druckkraft (N)
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
σ d = Druckspannung (N/mm²)
F   = Druckkraft (N)
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
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Torsionsspannung

Durch das Anziehdrehmoment, resultierend aus der Reibung im Gewinde, wird die Bewegungsschraube zusätzlich auf Torsion beansprucht.


Torsionsspnnung
τ   = Torsionsspannung (N/mm²)
M t = Torsionsmoment (Nmm )
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
τ   = Torsionsspannung (N/mm²)
M t = Torsionsmoment (Nmm )
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
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Vergleichsspannung bei Druck- und Torsionsbelastung

Aus der Druckspannung und Torsionsspannung ist die Vergleichsspannung nach der Gestalts-Änderungshypothese zu berechnen. Die Vergleichsspannung ist die Bemessungsspannung zur zulässigen Spannung.


Vergleichsspnnung
σ v = Vergleichsspannung (N/mm²)
σ d = Druckspannung (N/mm²)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
α t = Anstrengungsverhältnis
0,7 Biegung wechselnd, Torsion ruhend
1,0 Biegung wechselnd, Torsion wechselnd
σ v = Vergleichsspannung (N/mm²)
σ d = Druckspannung (N/mm²)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
α t = Anstrengungsverhältnis
0,7 Biegung wechselnd, Torsion ruhend
1,0 Biegung wechselnd, Torsion wechselnd
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Zulässige Vergleichsspannung [1]


Beanspruchung Schwellend Wechselnd
Trapezgewinde ≈ 0,20 * Rm ≈ 0,13 * Rm
Sägegewinde ≈ 0,25 * Rm ≈ 0,16 * Rm

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Antriebsdrehmoment

Das Antriebsdrehmoment ergibt sich durch das Reibungsmoment im Gewinde, sowie das Lagerreibmoment und der Längskraft in der Spindel.


Antriebsdrehmoment
Antriebsmoment
Gewindereibmoment
Gewindereibmoment
Lagerreibmoment
Lagerreibmoment
M A = Antriebsdrehmoment (Nmm )
M G = Gewindereibmoment (Nmm)
M L = Lagerreibmoment (Nmm)
F   = Längskraft (N)
r 2 = Flankenradius (mm)
φ   = Steigungswinkel (Grad)
ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
μ L = Reibwert Lagerfläche (-)
r L = wirksamer Reibradius Lagerfläche (mm)
M A = Antriebsdrehmoment (Nmm )
M G = Gewindereibmoment (Nmm)
M L = Lagerreibmoment (Nmm)
F   = Längskraft (N)
r 2 = Flankenradius (mm)
φ   = Steigungswinkel (Grad)
ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
μ L = Reibwert Lagerfläche (-)
r L = wirksamer Reibradius Lagerfläche (mm)
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Rückdrehmoment


Rückdrehmoment
Rückdrehmoment
Gewindereibmoment
Gewindereibmoment
Lagerreibmoment
Lagerreibmoment
M A = Rückdrehmoment (Nmm )
M G = Gewindereibmoment (Nmm)
M L = Lagerreibmoment (Nmm)
F   = Längskraft (N)
r 2 = Flankenradius (mm)
φ   = Steigungswinkel (Grad)
ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
μ L = Reibwert Lagerfläche (-)
r L = wirksamer Reibradius Lagerfläche (mm)
M A = Rückdrehmoment (Nmm )
M G = Gewindereibmoment (Nmm)
M L = Lagerreibmoment (Nmm)
F   = Längskraft (N)
r 2 = Flankenradius (mm)
φ   = Steigungswinkel (Grad)
ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
μ L = Reibwert Lagerfläche (-)
r L = wirksamer Reibradius Lagerfläche (mm)
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Steigungswinkel

Der Steigungswinkel besagt, wie weit das Gewinde pro 360° Drehung steigt.


Gewindesteigung
φ = Steigungswinkel (Grad)
P = Gewindesteigung (mm)
d 2 = Flankendurchmesser (mm)
φ = Steigungswinkel (Grad)
P = Gewindesteigung (mm)
d 2 = Flankendurchmesser (mm)
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Gewindereibwinkel

Der Tangens des Reibungswinkels ist das Verhältnis von Reibungskraft zu Normalkraft in der Reibungsfläche, mit denen der Körper im Grenzzustand des Gleichgewichts belastet ist. Er gibt die Neigung der resultierenden Kraft in der Reibungsfläche an.


Gewindereibwert

ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
μ G = Gewindereibwert (-)
β   = Flankenwinkel (Grad)

ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
μ   = Gewindereibwert (-)
β   = Flankenwinkel (Grad)

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Mittlere Gewindereibwerte für Bewegungsgewinde [1]

Mittlere Gewindereibwerte bei geschliffenen Spindeln aus Stahl im eingelaufenen Zustand (Klammerwerte bei Betriebsbeginn und nach Verschleiß).


Mutterwerkstoff Schmierung Reibungszahl Gewinde
der Ruhe der Bewegung
Bronze, Rotguss Fett 0,24 - (0,35) 0,12 - (0,15)
Bronze, Rotguss Fett/Öl 0,19 0,08
Polyamid PA6 Fett 0,19 - (0,23) 0,07 - (0,10)

Reibwerte einer geschliffenen Spindel im eingelaufenen Zustand, Klammerwerte ( ) nach Betriebsbeginn und nach Verschleiß.


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Knickung

Wirksame Knicklänge

Bei Bewegungsschrauben kommt hauptsächlich der Lastfall 1 und 2 nach Euler zum Tragen.


Knickung Lastafall 1 Knickung Lastafall 2
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Knickung nach Euler - elastische Knickung

Bei langen Spindeln ist der Lastfall Knickung zu überprüfen.
Mit dem Schlankheitsgrad ist zu prüfen, welche Knickungsart vorliegt, elastische nach Euler oder unelastische nach Tetmajer.


Schlankheitsgrad
Schlankheitsgrad
Grenz-Schlankheitsgrad
Grenz-Schlankheitsgrad
Die Eulerformel ist gültig wenn λ ≥ λ0
Knickspannung nach Euler
Knickspannung Euler
λ   = Schlankheitsgrad (-)
L k = wirksame Knicklänge (mm)
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
λ 0 = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
E   = E-Modul (N/mm²)
σ dp = Druckspannung Proportionalitätsgrenze (N/mm²) = 0,8 * Rp0,2
σ K = Knickspannung (N/mm²)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
L k = wirksame Knicklänge (mm)
d 3 = Kerndurchmesser (mm)
λ 0 = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
E   = E-Modul (N/mm²)
σ dp = Druckspannung Proportionalitätsgrenze (N/mm²) = 0,8 * Rp0,2
σ K = Knickspannung (N/mm²)
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Knickung nach Tetmajer - unelastische Knickung


Knickspannung
- für S235
Knickspannung Tetmajer S235
- für E295 und E335
Knickspannung Tetmajer E295
- für 5% Ni_Stahl
Knickspannung Tetmajer Ni
σ K = Knickspannung (N/mm²)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
σ K = Knickspannung (N/mm²)
λ   = Schlankheitsgrad (-)

Bei der Knickspannung nach Tetmajer gibt es nur für wenige Werkstoffe Formeln für die Knickspannung. Alternativ kann auch die Knickspannung nach Engesser berechnet werden. Hier wird als Berechnungsparameter die Druck-Streckgrenze benötigt, welcher für die jeweiligen Werkstoffe meist vorhanden ist.
Mit der Engesserformel erhält man ein konservativeres Ergebnis.

Berechnung der Knickspannung nach Euler bzw. Engesser:

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Knicksicherheit


Sicherheit
S   = Sicherheit (-)
σ K = Knickspannung (N/mm²)
σ vorh = vorhandene Spannung (N/mm²)
Druckspannung bzw. Vergleichsspannung

S erf = erforderliche Sicherheit (-)
elastische Knickung Serf ≈ 3...6
unelastische Knickung Serf ≈ 2...4
S   = Sicherheit (-)
σ K = Knickspannung (N/mm²)
σ vorh = vorhandene Spannung (N/mm²)
Druckspannung bzw. Vergleichsspannung

S erf = erforderliche Sicherheit (-)
elastische Knickung Serf ≈ 3...6
unelastische Knickung Serf ≈ 2...4
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Gewindebeanspruchung

Flächenpressung im Gewinde

Die auf die Spindel wirkende Druck-und Zugkraft beansprucht die Gewindegänge auf Pressung. Die unten aufgeführten zulässigen Flächenpressungen sind einzuhalten.


Gewindepressung
p   = Flächenpressung (N/mm²)
F   = Axialkraft (N)
l 1 = Länge Muttergewinde (mm)
d 2 = Flankendurchmesser (mm)
H 1 = Flankenüberdeckung (mm)
x   = Traganteil der Gewindeteile (-) = 0,75
p zul = zul. Pressung Gewindegänge (N/mm²)
P   = Gewindesteigung (mm)
Abstand von Gang zu Gang
bei mehrgängigem Gewinde ist P=Ph/n

Gewinde
p   = Flächenpressung (N/mm²)
F   = Axialkraft (N)
l 1 = Länge Muttergewinde (mm)
d 2 = Flankendurchmesser (mm)
H 1 = Flankenüberdeckung (mm)
x   = Traganteil der Gewindeteile (-) = 0,75
p zul = zul. Pressung Gewindegänge (N/mm²)
P   = Gewindesteigung (mm)
Abstand von Gang zu Gang
bei mehrgängigem Gewinde ist P=Ph/n

Gewinde

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Richtwerte für zul. Flächenpressung bei Bewegungsschrauben [1]


Schraube Mutter Dauerbetrieb
pzul N/mm2
Aussetzerbetrieb
pzul N/mm2
Seltener Betrieb
pzul N/mm2
Stahl Stahl 8 12 16
Stahl Gusseisen 5 8 10
Stahl CuZn und Cu Sn Legierung 10 15 20
Stahl, gehärtet CuZn und Cu Sn Legierung 15 22 30
Stahl Kunststoff 2 3 4

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Wirkungsgrad

Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad einer Schraubenverbindung berechnet sich aus der Arbeit der Schraube bei einer Umdrehung, zur der Arbeit mit der die Schraube um eine Umdrehung mit dem Gabelschlüssel aufgebracht werden muss.


Arbeitshub
Wirkungsgrad Arbeitshub

Rückhub
Wirkungsgrad Rückhub

ρ' > φ = Selbsthemmung

η A = Wirkungsgrad Arbeitshub (-)
η R = Wirkungsgrad Rückhub (-)
φ   = Steigungswinkel (Grad)
ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)
η A = Wirkungsgrad Arbeitshub (-)
η R = Wirkungsgrad Rückhub (-)
φ   = Steigungswinkel (Grad)
ρ'   = Gewindereibwinkel (Grad)

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