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Formelsammlung und Berechnungsprogramme
Maschinen- und Anlagenbau

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Update:  16.09.2021

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Berechnung und Gestaltung von Gummifedern.




Dieses Lehrbuch zur Technischen Mechanik behandelt den gesamten Stoffumfang der Grundlagenausbildung der Kurse Statik - Festigkeitslehre - Kinematik/Kinetik.




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Lagerungstechnik - Gummieigenschaften

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Schubmodul (G-Modul)

Die wichtigste Größe zur rechnerischen Bestimmung von Gummifedern ist der Schubmodul G [1]. Er ist nicht von der Konstruktionsform abhängig, sondern nur vom Werkstoff Gummi.


Schubmodul
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Berechnungsprogramm Schubmodul (G-Modul)

Zylinder

Berechnung des Schubmoduls von Gummi in Abhängigkeit der Shore-Härte.



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Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul besitzt zum Schubmodul die aus der Festigkeitslehre grundsätzliche Beziehung E = 3 * G. Dies trifft nicht bei gebundenen Gummifedern zu. Durch das Anvulkanisieren vom Gummi an die Stahlplatte verändert sich die Querdehnungszahl (Poissonsche Konstante) und unterliegt einer Abhängigkeit zwischen der gebundenen Fläche Ag (vulkanisierte Fläche) und der feien Fläche Ao (Außenfläche in Axialrichtung). Der sogenannte Formkennwert Kf trägt diesem Verhältnis Rechnung. Es wurde festgestellt, dass druckbeanspruchte gebundene Gummifedern mit gleichem Formkennwert etwa denselben rechnerischen Elastizitätsmodul Er aufweisen. Somit ist es möglich, einen vom Formkennwert Kf abhängigen Formfaktor K einzuführen [2], der es gestattet, den Elastizitätsmodul rechnerisch zu bestimmen.


Formfaktor
K f = Formkennwert (-)
A g = gebundene Druckfläche (mm²)
A o = freie Fläche (mm2)
d   = Gummi AuĂźendurchmesser (mm)
l   = Länge Gummiquader (mm)
b   = Breite Gummiquader (mm)
h   = Höhe Gummipaket (mm)
E r = rechnerischer E-Modul (N/mm²)
K   = Formfaktor (-) siehe Diagramm
G   = G-Modul (N/mm²)
K f = Formkennwert (-)
A g = gebundene Druckfläche (mm²)
A o = freie Fläche (mm2)
d   = Gummi AuĂźendurchmesser (mm)
l   = Länge Gummiquader (mm)
b   = Breite Gummiquader (mm)
h   = Höhe Gummipaket (mm)
E r = rechnerischer E-Modul (N/mm²)
K   = Formfaktor (-) siehe Diagramm
G   = G-Modul (N/mm²)
Formfaktor

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Berechnung des Formfaktors K und des rechnerischen E-Moduls

Quader

Berechnung des Formfaktors K und des rechnerischen E-Moduls fĂĽr rechteckige und zylindrische Gummielemente.


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Zulässige Spannungen

Als Richtwerte können die folgenden Werte für die zulässige Spannung angesehen werden. Die Werte sind für alle Elastomer-Arten gültig.
Dauernde statische Zugkräfte sind zu vermeiden.

Bei Druckbeanspruchung ist die Gummi-Härte maßgebend für die zul. Druckspannung:


Shorehärte (Sh) 40 50-60 70
zul. Druckspannung (N/mm²) 0,4 - 0,5 0,8 - 1,0 1,0 - 1,5

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Zulässige Spannungswerte für weitere Belastungsarten:


  zul. Spannung (N/mm²)
Belastungsart statisch dynamisch
(10 Hz)
StoĂź
Schub 0,2 ± 0,050 0,6
Zug - - 1,5
Drehschub 0,3 ± 0,075 0,5
Druck-Schub 45° 0,5 ± 0,125 2,0
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Setzen bzw. Kriechen von elastischen Lagerelementen

Bei Elastomer-Werkstoffen nimmt der Federweg bei ständiger statischer Belastung zu. Diese zusätzliche Verformung wird als "Setzen" oder "Kriechen" bezeichnet. Das Kriechen ist abhängig von der Federrate, von der Härte des Werkstoffes und von der Gummimischung. Das Kriechen verläuft für eine lineare Federcharakteristik bei konstanter Temperatur linear proportional zum Logarithmus der Zeit. Es ist unabhängig von der Belastungsart (Druck, Schub).


Kriechen Lagerelement Formel
D s = Federwegzunahme (mm)
K = Kriechwert (-) 
s 6 = Federweg nach 6 s unter statischer Last (mm)
n = Anzahl der Zeitdekaden (-) 
D s = Federwegzunahme (mm)
K = Kriechwert (-) 
s 6 = Federweg nach 6 s unter statischer Last (mm)
n = Anzahl der Zeitdekaden (-) 
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Kriechwerte


Elastomer­härte
Shore A
Natur-­Kautschuk NR Chloropren-­Kautschuk CR Nitril-­Kautschuk NBR
40 0,02 0,04 0,04
55 0,03 0,05 0,04
65 0,04 0,05 0,05

Im folgenden Diagramm ist dargestellt, das Setzen bzw. Kriechen von elastischen Lagerelemente in Abhängigkeit der Zeit bei einer Anfangseinfederung von s6 = 4 mm.


Die durch das Kriechen verursachte geringfügige Federwegzunahme kann in der Praxis meist vernachlässigt werden. Lediglich bei der Lagerung von Aggregaten, deren Wellen große Fluchtgenauigkeit erfordern und deren treibende und getriebene Einheit nicht auf einem gemeinsamen Fundament montiert sind, muss die zeitabhängige Federwegzunahme berücksichtigt werden. Da aber die Federwegzunahme für eine angenommene Standzeit von ca. 20 Jahren bereits nach 24 h Belastungszeit den halben Wert erreicht hat, kann das endgültige Ausrichten nach 1-2 Tage erfolgen unter Berücksichtigung der späteren zusätzlichen Einfederung.


Kriechweg Lagerelement Diagramm
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Änderung der Federrate bei Änderung der Shorehärte

Diese Werte sind nur Anhaltswerte. Werte sind nur gĂĽltig im Bereich von 40 - 75 Shore.


Shorehärte umrechnen Formel
C neu = neue Federrate (N/mm)
C nom = nominale Federrate (N/mm)
x = Umrechnungsfaktor (-) 
C neu = neue Federrate (N/mm)
C nom = nominale Federrate (N/mm)
x = Umrechnungsfaktor (-) 

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Differ­enz der Shore­härten 5 10 15 20 25 30
Um­rechnungs­faktor x 1,22 1,49 1,82 2,22 2,71 3,32
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Versteifungsfaktor der Federrate bei dynamischer Beanspruchung

Elastomer Lagerelemente weisen bei dynamischer Beanspruchung abweichende Federeigenschaften gegenüber Werten aus quasistatischen Federkennlinien auf. Die Federrate ist abhängig von der Verformungsgeschwindigkeit und der Wegamplitude. Während die geschwindigkeitsabhängige Versteifung der Federrate wegen Geringfügigkeit vernachlässigt werden kann, sollte die amplitudenabhängige Versteifung bei der Betrachtung körperschalldämmender Maßnahmen berücksichtigt werden.


Shorhärte A 40 45 50 55 60 65 70
Ver­steifungs­faktor für
Ampli­tude s0 = 0,5 mm
1,18 1,20 1,24 1,27 1,29 1,31 1,32


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Eigenschaften von Elastomerwerkstoffen


Werkstoff NR IR SBR BR IIR EPDM NBR CR AU, EU MVQ FQ FKM PUR
Zerreiß­festigkeit
unverstärkt
1 5 2 6 4 5 5 3 2 6 6 5 1
Zerreiß­festigkeit
verstärkt
1 2 2 4 3 3 2 2 1 4 4 3 -
Bruch­dehnung 1 1 2 3 2 3 2 2 2 4 4 3 2
Rück­prall­elastizität 2 2 3 1 6 3 3 3 3 3 3 5 2
Abrieb­widerstand 2 2 2 1 3 3 2 2 1 5 5 4 1
Einreiß­festigkeit 2 2 3 5 3 3 3 2 3 6 6 3 1
elektr. Durchgangs-
widerstand
1 1 2 2 2 2 4 3 3 1 1 4 2
HeiĂźluft
Temperaturber. °C
+90 +90 +100 +100 +140 +150 +130 +120 +120 +200 +200 +200 +80
Kälte
Temperaturber. °C
-50 -40 -40 -60 -40 -40 -40 -30 -20 -80 -80 -25 -35
Alkalien­beständigkeit 3 3 3 3 2 2 3 2 5 5 4 1 6
Alterungs­beständigkeit 3 3 3 3 2 1 3 2 2 1 1 1 1
Benzin­beständigkeit 6 6 4 5 6 5 1 2 1 5 1 1 2
HeiĂźes Wasser 3 3 2 3 1 2 3 2 5 5 4 2 6
Ozon­beständigkeit 4 4 4 3 2 1 3 2 2 1 1 1 1
Öl- u. Fett­beständigkeit 6 6 5 6 6 4 1 2 4 4 4 4 2
Säure­beständigkeit 3 3 3 3 2 1 4 3 5 5 4 2 6

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 1    ausgezeichnet    2    sehr gut    3    gut    4    mäßig    5    gering    6    ungenĂĽgend  

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  Polymer Handelsnamen
NR Naturkautschuk  
IR Isoprenkautschuk Natsyn, Criflex IR
SBR Styrol-Butadien-Kautschuk Buna HĂĽls
BR Butadien-Kautschuk Buna CB
IIR Butyl-Kautschuk Polysar Butyl, Esso-Butyl
EPDM Ethylen-Propylendien-Kautschuk Keltan, Buna AP, Dutral
NBR Acrylnitril-Butadien-Kautschuk Perbunan, Polysar-Krynac
CR Chloropren-Kautschuk Baypren, Neoprene
AU, EU Polyurethan-Kautschuk Urepan, Adipene C
MVQ Silicon-Kautschuk Silopren
FQ Flior-Silicon_Kautschuk Silastic
FKM Fluorkatschuk Viton, Fluorel, Tecnoflon
PUR Polyurethan Vulkollan
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Statische Einfederung

Die statische Einfederung ist der Weg der Lagerung durch die Gewichtskraft des Körpers. Bei mehreren Lagerpunkten ist die Gesamtfederrate aller Lagerpunkte zu berücksichtigen.


Einfederung Formel
s sta = Statische Einfederung (m)
F = Gewichtskraft (N) 
C ges = Gesamt Federrate der Lagerung (N/m)
s sta = Statische Einfederung (m)
F = Gewichtskraft (N) 
C ges = Gesamt Federrate der Lagerung (N/m)
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Eigenfrequenz der Lagerung

Die Eigenfrequenz der Lagerung wird bestimmt durch die Masse der Komponente und der Gesamtfederrate der Lagerpunkte.


Lagereigenfrequenz Formel
f e = Eigenfrequenz (Hz)
C ges = Gesamt Federrate der Lagerung (N/m)
m = Gesamtmasse (kg) 
f e = Eigenfrequenz (Hz)
C ges = Gesamt Federrate der Lagerung (N/m)
m = Gesamtmasse (kg) 


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Frequenzverhältnis

Das Frequenzverhältnis ist das Verhältnis von der Erregerfrequenz (z. B. Motor) zu der Eigenfrequenz der Lagerung.


Frequenzverhaeltnis Formel
η = Frequenzverhältnis (-) 
f err = Erregerfrequenz (Hz) (Motordrehzahl / 60)
f e = Eigenfrequenz der Lagerung (Hz)
η = Frequenzverhältnis (-) 
f err = Erregerfrequenz (Hz) (Motordrehzahl / 60)
f e = Eigenfrequenz der Lagerung (Hz)
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Isoliergrad

Der Isoliergrad gibt die Verminderung der Erregergröße in % an. Die Berechnung erfolgt aus dem Frequenzverhältnis.
Diese Formel ist nur gültig bei einem Frequenzverhältnis von > 1,41 und einer geringen Dämpfung der Lagerelemente (z. B. Stahlfederelemente oder Natur-Kautschuk-Elemente NR).


Isoliergrad Formel
i = Isoliergrad (%) 
η = Frequenzverhältnis (-) 
i = Isoliergrad (%) 
η = Frequenzverhältnis (-) 
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Berechnungsprogramm Isoliergrad

Isoliergrad

Berechnung des Isoliergrads einer elastischen Lagerung.


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Dämmungswert


Dämmungswert Formel
Δ L = Dämmungswert (dB)
f err = Erregerfrequenz (Hz)
f e = Eigenfrequenz der Lagerung (Hz)
Δ L = Dämmungswert (dB)
f err = Erregerfrequenz (Hz)
f e = Eigenfrequenz der Lagerung (Hz)

Literatur:
[1] Dubbel: Taschenbuch fĂĽr den Maschinenbau
[2] Göbel: Gummifederdaten



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