Allgemeine Formeln zur
Festigkeitsberechnung und Kerbwirkung

Spannungsarten

Normalspannung (Zug-Druck)

Biegespannung


Torsionsspannung


Dynamische Spannungswerte

Spannungsamplitude

Mittelspannung

σ_N = Normalspannung (N/mm²) - Zug/Druck
F _N = Normalkraft (N)
A   = Querschnittsfläche (mm²)
σ _b = Biegespannung (N/mm²)
M _b = Biegemoment (Nmm)
W _b = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
τ _t = Torsionsspannung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
W _t = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σ _a = Spannungsamplitude (N/mm²)
σ _m = Mittelspannung (N/mm²)
σ _o = Oberspannung (N/mm²)
σ _u = Unterspannung (N/mm²)

σ_N = Normalspannung (N/mm²) - Zug/Druck
F _N = Normalkraft (N)
A   = Querschnittsfläche (mm²)
σ _b = Biegespannung (N/mm²)
M _b = Biegemoment (Nmm)
W _b = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
τ _t = Torsionsspannung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
W _t = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σ _a = Spannungsamplitude (N/mm²)
σ _m = Mittelspannung (N/mm²)
σ _o = Oberspannung (N/mm²)
σ _u = Unterspannung (N/mm²)

Einachsiger Spannungszustand

Wenn Spannungen mit gleichem Richtungsvektor zusammengefasst werden sollen, werden sie algebraisch addiert, z. B. bei Zug und Biegung.

σ_x = max. Spannung (N/mm2)
σ _x1-x2.. = Normalspannung (N/mm2)

σ_x = max. Spannung (N/mm2)
σ _x1-x2.. = Normalspannung (N/mm2)

Vergleichsspannung - Mehrachsiger Spannungszustand

Bei mehrachsigem Spannungszustand werden Vergleichsspannungs-Hypothesen zur Berechnung der Gesamtspannung verwendet.

Gestaltänderungshypothese (GEH)

Mit der Gestaltänderungshypothese wird die Vergleichsspannung ermittelt, die beim beanspruchten Bauteil dieselbe Gestaltänderungsarbeit hervorrufen würde wie die anderen Spannungen zusammen. Die Gestaltänderungshypothese wird bei zähen Werkstoffen (z.B. Stahl) verwendet, welche hauptsächlich im Maschinenbau und Stahlbau eingesetzt wird. Voraussetzung für die Anwendung dieser Vergleichsspannungshypothese ist, dass man ein isotropes Material annehmen kann, das auf Zug und Druck die gleiche Belastbarkeit hat.

Zweiachsiger Spannungszustand


Dreiachsiger Spannungszustand

σ_v,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σ _x-y-z = Normalspannung (N/mm2)
τ _xy-xz-yz = Schubspannung (N/mm²)
σ _1-2-3 = Hauptspannung (N/mm²)

Normalspannungshypothese (NH)

Die Normalspannungshypothese wird bei einem spröden und trennbruchempfindlichen Werkstoff angewendet, z. B. Grauguss, Keramik, Glas.

Einachsiger Spannungszustand

Zweiachsiger Spannungszustand

σ_v,NH = Vergleichsspannung NH (N/mm2)
σ _x-y = Normalspannung (N/mm2)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)

σ_v,NH = Vergleichsspannung NH (N/mm2)
σ _x-y = Normalspannung (N/mm2)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)

Schubspannungshypothese (SH)

Bei der Schubspannungshypothese muss der Werkstoff verformungsfähig sein und dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird.

Allgemeiner Spannungszustand

Einachsiger Spannungszustand

Zweiachsiger Spannungszustand

Dreiachsiger Spannungszustand

σ_v,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σ _x-y-z = Normalspannung (N/mm2)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)
σ _1-2-3 = Hauptspannung (N/mm²)

σ_v,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σ _x-y-z = Normalspannung (N/mm2)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)
σ _1-2-3 = Hauptspannung (N/mm²)

Anstrengungsverhältnis bei wechselnder Beanspruchung

Der Einfluss wechselnder Beanspruchung auf die Festigkeit wird durch das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt.

Anstrengungsverhältnis


φ ≈ 1 für NH

φ ≈ 2 für SH

φ ≈ √3 für GEH

Vergleichsspannung mit Anstrengungsverhältnis


Anstrengungsverhältnis für Stahl allgemein

Biegung	Torsion	Anstrengungs- verhältnis α0
wechselnd	ruhend wechselnd	0,7 - Baustahl 0,63 - Vergütungsstahl 0,77 - Einsatzstahl
wechselnd	wechselnd	1,0
schwellend	schwellend	1,0
ruhend	ruhend	1,0
ruhend	wechselnd	1,6

α₀ = Anstrenungsverhältnis (-)
φ   = Faktor für Festigkeitshypothese (-)
σ _zul = zulässige Normalspannung (N/mm²)
τ _zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
σ _v,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σ _v,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σ _b = Biegespannung (N/mm2)
τ _t = Torsionsspannung (N/mm²)

α₀ = Anstrenungsverhältnis (-)
φ   = Faktor für Festigkeitshypothese (-)
σ _zul = zulässige Normalspannung (N/mm²)
τ _zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
σ _v,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σ _v,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σ _b = Biegespannung (N/mm2)
τ _t = Torsionsspannung (N/mm²)

Dehnungen bei dreiachsigem Spannungszustand

ε _x = Dehnung in X-Richtung (-)
ε _y = Dehnung in Y-Richtung (-)
ε _z = Dehnung in Z-Richtung (-)
E   = E-Modul (N/mm²)
ν   = Querkontraktionszahl (-)
σ _x = Spannung in X-Richtung (N/mm²)
σ _y = Spannung in Y-Richtung (N/mm²)
σ _z = Spannung in Z-Richtung (N/mm²)

ε _x = Dehnung in X-Richtung (-)
ε _y = Dehnung in Y-Richtung (-)
ε _z = Dehnung in Z-Richtung (-)
E   = E-Modul (N/mm²)
ν   = Querkontraktionszahl (-)
σ _x = Spannung in X-Richtung (N/mm²)
σ _y = Spannung in Y-Richtung (N/mm²)
σ _z = Spannung in Z-Richtung (N/mm²)

Mohrscher Spannungskreis

Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt.
Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich wie folgt konstruieren.
Gegeben: σ_x, σ_y, τ_xy - (σ_x > σ_y)
1. Punkt P1 (σ_x|τ_xy) und Punkt P2 (σ_y|-τ_xy) in das Koordinatensystem einzeichnen.
2. Punkt P1 mit P2 verbinden.
3. Der Schnitt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ist der Kreismittelpunkt σ_m
4. Kreis mit dem Mittelpunkt σ_m durch die Punkte P1 und P2 zeichnen
5. Die Hauptspannungen liegen auf der σ-Achse am äußersten Rand des Kreises (τ_xy = 0).

nach oben

Der Winkel 2α∗ zwischen Verbindungslinie und σ-Achse sagt aus, dass wenn man das Koordinatensystem X-Y entgegen des Uhrzeigersinn um den Winkel α∗ dreht, die Normalspannungen dort ihre Extremwerte annehmen. Die Richtung der Hauptspannungen σ₁ wird bestimmt, indem σ₂ mit dem Punkt P1 verbunden wird. Die Richtung der Hauptspannung σ₂ wird bestimmt, indem σ₁ mit dem Punkt P1 verbunden wird.

Kreisradius

Mittelspannung

Hauptspannungen

Max. Schubspannung

Spannungsrichtungen

r = Kreisradius
σ _m = Mittelspannung (N/mm²)
σ _x = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σ _y = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)
σ ₁ = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ ₂ = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α ^* = Hauptspannungsrichtung (-)

r = Kreisradius
σ _m = Mittelspannung (N/mm²)
σ _x = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σ _y = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)
σ ₁ = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ ₂ = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α ^* = Hauptspannungrichtung (-)

Spannungstransformation

Um die Spannungen zu ermitteln, die in einem anderen Winkel φ zur Normalspannungsebnen liegen, sind die unten aufgeführten Formeln zu verwenden.
Folgende Spannungen müssen bekannt sein: σ_x, σ_y, τ_xy

φ = Transformationswinkel (Grad)
σ _x* = Spannung in X*-Richtung (N/mm²)
σ _y* = Spannung in Y*-Richtung (N/mm²)
τ _xy* = Schubspannung (N/mm²)
σ _x = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σ _y = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τ _xy = Schubspannung (N/mm²)

Berechnung statisch bestimmter Träger bei verschiedenen Einspannverhältnissen

Berechnungsprogramm für Träger und Wellen

Mit den Berechnungsprogrammen können Träger mit konstantem Querschnitt berechnet werden.
Die Auflagerkräfte, Biegemomente und die Durchbiegung werden ermittelt.

Berechnungsprogramm

Festigkeitswerte für verschiedene Werkstoffe

Bezeichnung von Festigkeitswerten

E-Modul - G-Modul

E = Elastizitätsmodul (N/mm²)
σ= Spannung (N/mm²)
ε = Dehnung (-)
ν = Querkontrationszahl (-)

E = Elastizitätsmodul (N/mm²)
σ= Spannung (N/mm²)
ε = Dehnung (-)
ν = Querkontrationszahl (-)

Allgemeine Festigkeitswerte

Dauerfestigkeitswerte

1) Für polierte Rundproben von etwa 10 mm Durchmesser
2) Für Druck ist σ_Sch größer, z.B. für Grauguss σ_dSch ≈ 3 . σ_Sch

Zulässige Pressungswerte N/mm² - [1]

Werkstoffart	ruhende Belastung	schwellende Belastung
Zähe Werkstoffe
Spröde Werkstoffe

σ_dF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ _dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)

Zulässige Pressungswerte bei Festsitze N/mm² - [1]

Zulässige Flächenpressung für Gleitsitze bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten N/mm² - [1]

Werkstoffpaarung harte und geschliffene Bolzenoberfläche (Ra ca. 0,4 μm) fremdgeschmiert.

R_m = Zugfestigkeit (N/mm²)

Zulässige Hertzsche Pressung bei dynamischer Belastung nach Niemann

Zulässige Hertzsche Pressung für rollende Anwendung

p_max,zul,dyn = dauerhafte ertragbare Hertzsche Pressung (N/mm²) (33 Millionen Ãœberrollungen) 
HB   = Brinellhärte (HB)
N   = Anzahl Ãœberrollungen

Kerbwirkung - Kerbformzahl

Die Spannung in einem Bauteil hängt auch von der Form des Bauteils ab. Insbesondere im Bereich konstruktiv bedingter Kerben kommt es örtlich zu Spannungskonzentrationen. Infolge der Verformungsbehinderung ergeben sich im Kerbgrund Spannungsspitzen, die über den Nennspannungen des ungestörten Bauteils liegen.
Die Kerbformzahl α k ist nur von der Kerbform und der Beanspruchungsart, nicht von den Werkstoffeigenschaften abhängig.

Kerbformzahl

Zug / Druck

Biegung

Torsion

α_k = Kerbformzahl Zug-Druck (-)
σ _max = max. Normalspannung (N/mm²)
σ _n = Normalspannung (N/mm²)
α _kb = Kerbformzahl Biegung (-)
σ _bmax = max. Biegespannung (N/mm²)
σ _b = Biegespannung (N/mm²)
α _kt = Kerbformzahl Torsion (-)
τ _tmax = max. Torsionsspannung (N/mm²)
τ _t = Torsionsspannung (N/mm²)

α_k = Kerbformzahl Zug-Druck (-)
σ _max = max. Normalspannung (N/mm²)
σ _n = Normalspannung (N/mm²)
α _kb = Kerbformzahl Biegung (-)
σ _bmax = max. Biegespannung (N/mm²)
σ _b = Biegespannung (N/mm²)
α _kt = Kerbformzahl Torsion (-)
τ _tmax = max. Torsionsspannung (N/mm²)
τ _t = Torsionsspannung (N/mm²)

Berechnungsprogramm Kerbformzahl

Berechnung der Kerbformzahl für verschiedene Kerbformen.

Berechnungsprogramm

Kerbwirkungszahl

Bei wechselnder Beanspruchung kann es durch das begrenzte Formänderungsvermögen zu keinem dauerhaften Spannungsabbau kommen. Zur Auslegung dynamisch beanspruchter Bauteile wird daher die Kerbwirkungszahl βk als Verhältnis der Dauerfestigkeit σD eines glatten, polierten Stabes zur Dauerfestigkeit σDk der glatten Probe herangezogen.
Die Kerbwirkungszahl βk ist abhängig von der Beanspruchungsart, der Kerbform sowie vom Werkstoff und wird experimentell ermittelt.

Berechnungsprogramm Kerbwirkungszahlen

Berechnung der Kerbwirkungszahl für verschiedene Kerbformen.

Berechnungsprogramm

Bei bekannter Kerbformzahl kann als Näherungswert mit folgender empirischer Formel gerechnet werde.

β_k = Kerbwirkungszahl (-)
α _k = Kerbformzahl (-)
η _k = Stützziffer (-)
R _p0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
R _m = Zugfestigkeit (N/mm2)
r   = Kerbradius (mm)

β_k = Kerbwirkungszahl (-)
α _k = Kerbformzahl (-)
η _k = Stützziffer (-)
R _p0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
R _m = Zugfestigkeit (N/mm2)
r   = Kerbradius (mm)

Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit

Bei der Berechnung der Dauerfestigkeit eines Bauteils sind verschiedene Einflussfaktoren zu berücksichtigen:

- Technologischer Größeneinflussfaktor K1
Der Faktor K1 berücksichtigt, dass die erreichbare Härte beim Vergüten bzw. Einsatzhärten mit steigendem Durchmesser abnimmt.

- Geometrischer Größeneinflussfaktor K2
Der geometrische Größeneinflussfaktor K2 berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser oder Dicken die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit übergeht und analog auch die Torsionswechselfestigkeit sinkt.

- Einflussfaktor Oberflächenrauigkeit Kf
Der Einflussfaktor Kf der Oberflächenrauheit, berücksichtigt den zusätzlichen Einfluss der Rauheit auf die örtlichen Spannungen und damit auf die Dauerfestigkeit des Bauteils.

- Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung Kv
Der Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung Kv berücksichtigt den Einfluss (Eigenspannung, Härte) des veränderten Oberflächenzustandes durch das jeweilige technologische Verfahren auf die Dauerfestigkeit.

Gestaltfestigkeit

Bei der Gestaltfestigkeit werden Einflüsse wie Kerbwirkung, Größen- und Oberflächeneinfluss, welche die Festigkeit beeinträchtigen, bei der Berechnung der Gestaltfestigkeit, berücksichtigt.

Vergleichs-Mittelspannung
Aus den Beanspruchungsspannungen des Bauteils wird die Vergleichs-Mittelspannung ermittelt.

Bauteil-Wechselspannung
Aus dem zul. Festigkeitswert des Werkstoffes wird an Hand der Einflussfaktoren die Bauteil-Wechselspannung berechnet.

Mittelspannungsempfindlichkeit
Zur Kennzeichnung des Einflusses der Mittelspannung auf die dauernd ertragbare Spannungsamplitude wird mit der Mittelspannungsempfindlichkeit berücksichtigt.

Sicherheit bei Ermüdungsbruch
Unter Berücksichtigung der auftretenden Beanspruchungsspannungen und der Bauteil-Ausschlagfestigkeit wird der Sicherheitswert berechnet.

Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith

Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds wenn σ_w, R_m und R_e gegeben ist

Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Rm und Re
2. P1 und P2 für +σ_w u. -σ_w
3. 45° Linie (κ=+1)
4. von P3 nach links σ_w/2 auftragen (P4)
5. Linie von P1 nach P4
6. Bei Re waagrechte von P5 nach P6
7. Vertikaler Abstand von P6 zur 45° Linie (P7) ermitteln und nach unten auftragen (P8)
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden

Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Rm und Re
2. P1 und P2 für +σ_w u. -σ_w
3. 45° Linie
4. von P3 nach links σ_w/2 auftragen (P4)
5. Linie von P1 nach P4
6. Bei Re waagrechte von P5 nach P6
7. Vertikaler Abstand von P6 zur 45° Linie (P7) ermitteln und nach unten auftragen (P8)
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden

Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds wenn σ_schw und R_e gegeben ist

Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Re
2. P1 und P2 für +σ_w u. -σ_w
3. 45° Linie (κ=+1) Schnittpunkt ergibt P3
4. Auf der σ_m Achse σ_schw/2 auftragen P4
5. Senkrecht über P4 ergibt auf der Linie κ=0 Punkt P5
6. Schnittpunkt mit Linie P1 und P5 mit Re ergibt P6
7. Von P6 senkrecht nach unten und Schnittpunkt mit Linie von P2 und P4 ergibt P7
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden

Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Re
2. P1 und P2 für +σ_w u. -σ_w
3. 45° Linie (κ=+1) Schnittpunkt ergibt P3
4. Auf der σ_m Achse σ_schw/2 auftragen P4
5. Senkrecht über P4 ergibt auf der Linie κ=0 Punkt P5
6. Schnittpunkt mit Linie P1 und P5 mit Re ergibt P6
7. Von P6 senkrecht nach unten und Schnittpunkt mit Linie von P2 und P4 ergibt P7
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden