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Dieses Standardlehrwerk mit aussagekräftigen Bildern und verständlichem Text unterstützt Lehrende und Lernende.
Dieses Lehrbuch zur Technischen Mechanik behandelt den gesamten Stoffumfang der Grundlagenausbildung der Kurse Statik - Festigkeitslehre - Kinematik/Kinetik.
Das Standardwerk der Ingenieure in Studium und Beruf mit den Schwerpunkten „Allgemeiner Maschinenbau“.
Festigkeitsberechnungen
Seitenübersicht:
Beanspruchungs- und SpannungsartenEinachsiger Spannungszustand
Vergleichsspannung - Zweiachsiger Spannungszustand
- Gestaltänderungshypothese (GEH)
- Normalspannungshypothese (NH)
- Schubspannungshypothese (SH)
Anstrengungsverhältnis bei wechselnder Beanspruchung
Dehnungen und Spannungen bei dreiachsigem Spannungszustand
- Mohrscher Spannungskreis
- Spannungstransformation
Spannungsberechnungen
- Berechnungsprogramme statisch bestimmter Träger
Allgemeine Festigkeitswerte
- Tabellen mit Festigkeitswerten
- Bezeichnung von Festigkeitswerten
- Allgemeine Festigkeitswerte
- Dauer-Festigkeitswerte
- Zulässige Pressungswerte
- Zulässige Hertzsche Pressung
Kerbwirkung
- Kerbformzahl
- Kerbwirkungszahl
- Einflussfaktoren
- Gestaltfestigkeit
Dauerfestigkeitsschaubild
- Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds
Spannungsarten
Biegespannung
Torsionsspannung
Dynamische Spannungswerte
Spannungsamplitude
Mittelspannung
F N = Normalkraft (N)
A = Querschnittsfläche (mm²)
σ b = Biegespannung (N/mm²)
M b = Biegemoment (Nmm)
W b = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
M t = Torsionsmoment (Nmm)
W t = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σ a = Spannungsamplitude (N/mm²)
σ m = Mittelspannung (N/mm²)
σ o = Oberspannung (N/mm²)
σ u = Unterspannung (N/mm²)
F N = Normalkraft (N)
A = Querschnittsfläche (mm²)
σ b = Biegespannung (N/mm²)
M b = Biegemoment (Nmm)
W b = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
M t = Torsionsmoment (Nmm)
W t = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σ a = Spannungsamplitude (N/mm²)
σ m = Mittelspannung (N/mm²)
σ o = Oberspannung (N/mm²)
σ u = Unterspannung (N/mm²)
Einachsiger Spannungszustand
Wenn Spannungen mit gleichem Richtungsvektor zusammengefasst werden sollen, werden sie algebraisch addiert, z. B. bei Zug und Biegung.
σ x1-x2.. = Normalspannung (N/mm2)
σ x1-x2.. = Normalspannung (N/mm2)
Vergleichsspannung - Mehrachsiger Spannungszustand
Bei mehrachsigem Spannungszustand werden Vergleichsspannungs-Hypothesen zur Berechnung der Gesamtspannung verwendet.
Gestaltänderungshypothese (GEH)
Mit der Gestaltänderungshypothese wird die Vergleichsspannung ermittelt, die beim beanspruchten Bauteil dieselbe Gestaltänderungsarbeit hervorrufen würde wie die anderen Spannungen zusammen. Die Gestaltänderungshypothese wird bei zähen Werkstoffen (z.B. Stahl) verwendet, welche hauptsächlich im Maschinenbau und Stahlbau eingesetzt wird. Voraussetzung für die Anwendung dieser Vergleichsspannungshypothese ist, dass man ein isotropes Material annehmen kann, das auf Zug und Druck die gleiche Belastbarkeit hat.
Dreiachsiger Spannungszustand
σ x-y-z = Normalspannung (N/mm2)
τ xy-xz-yz = Schubspannung (N/mm²)
σ 1-2-3 = Hauptspannung (N/mm²)
nach oben
Normalspannungshypothese (NH)
Die Normalspannungshypothese wird bei einem spröden und trennbruchempfindlichen Werkstoff angewendet, z. B. Grauguss, Keramik, Glas.
Zweiachsiger Spannungszustand
σ x-y = Normalspannung (N/mm2)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
σ x-y = Normalspannung (N/mm2)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
Schubspannungshypothese (SH)
Bei der Schubspannungshypothese muss der Werkstoff verformungsfähig sein und dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird.
Einachsiger Spannungszustand
Zweiachsiger Spannungszustand
Dreiachsiger Spannungszustand
σ x-y-z = Normalspannung (N/mm2)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
σ 1-2-3 = Hauptspannung (N/mm²)
σ x-y-z = Normalspannung (N/mm2)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
σ 1-2-3 = Hauptspannung (N/mm²)
Anstrengungsverhältnis bei wechselnder Beanspruchung
Der Einfluss wechselnder Beanspruchung auf die Festigkeit wird durch das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt.
φ ≈ 1 für NH
φ ≈ 2 für SH
φ ≈ √3 für GEH
Vergleichsspannung mit Anstrengungsverhältnis
Anstrengungsverhältnis für Stahl allgemein
| Biegung | Torsion | Anstrengungs- verhältnis α0 |
| wechselnd | ruhend wechselnd |
0,7 - Baustahl 0,63 - Vergütungsstahl 0,77 - Einsatzstahl |
| wechselnd | wechselnd | 1,0 |
| schwellend | schwellend | 1,0 |
| ruhend | ruhend | 1,0 |
| ruhend | wechselnd | 1,6 |
φ = Faktor für Festigkeitshyphothese (-)
σ zul = zulässige Normalspannung (N/mm²)
τ zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
σ v,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σ v,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σ b = Biegespannung (N/mm2)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
φ = Faktor für Festigkeitshyphothese (-)
σ zul = zulässige Normalspannung (N/mm²)
τ zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
σ v,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σ v,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σ b = Biegespannung (N/mm2)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
Dehnungen bei dreiachsigem Spannungszustand
ε y = Dehnung in Y-Richtung (-)
ε z = Dehnung in Z-Richtung (-)
E = E-Modul (N/mm²)
ν = Querkontraktionszahl (-)
σ x = Spannung in X-Richtung (N/mm²)
σ y = Spannung in Y-Richtung (N/mm²)
σ z = Spannung in Z-Richtung (N/mm²)
ε y = Dehnung in Y-Richtung (-)
ε z = Dehnung in Z-Richtung (-)
E = E-Modul (N/mm²)
ν = Querkontraktionszahl (-)
σ x = Spannung in X-Richtung (N/mm²)
σ y = Spannung in Y-Richtung (N/mm²)
σ z = Spannung in Z-Richtung (N/mm²)
nach oben
Mohrscher Spannungskreis
Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines
belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher
Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt.
Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich wie folgt konstruieren.
Gegeben: σx, σy, τxy - (σx > σy)
1. Punkt P1 (σx|τxy) und Punkt P2 (σy|-τxy) in das
Koordinatensystem einzeichnen.
2. Punkt P1 mit P2 verbinden.
3. Der Schnitt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ist der Kreismittelpunkt σm
4. Kreis mit dem Mittelpunkt σm durch die Punkte P1 und P2 zeichnen
5. Die Hauptspannungen liegen auf der σ-Achse am äußersten Rand des Kreises (τxy = 0).
nach oben
Der Winkel 2α∗ zwischen Verbindungslinie und σ-Achse sagt aus, dass wenn man das Koordinatensystem X-Y
entgegen des Uhrzeigersinn um den Winkel α∗ dreht, die Normalspannungen dort ihre Extremwerte annehmen. Die
Richtung der Hauptspannungen σ1 wird bestimmt, indem σ2 mit dem Punkt P1 verbunden
wird. Die Richtung der Hauptspannung σ2 wird bestimmt, indem σ1 mit dem Punkt P1
verbunden wird.
Mittelspannung
Hauptspannungen
Max. Schubspannung
Spannungsrichtungen
σ m = Mittelspannung (N/mm²)
σ x = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σ y = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
σ 1 = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ 2 = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α * = Hauptspannungsrichtung (-)
σ m = Mittelspannung (N/mm²)
σ x = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σ y = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
σ 1 = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ 2 = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α * = Hauptspannungrichtung (-)
Spannungstransformation
Um die Spannungen zu ermitteln, die in einem anderen Winkel φ zur Normalspannungsebnen liegen, sind die
unten aufgeführten Formeln zu verwenden.
Folgende Spannungen müssen bekannt sein: σx, σy, τxy
σ x* = Spannung in X*-Richtung (N/mm²)
σ y* = Spannung in Y*-Richtung (N/mm²)
τ xy* = Schubspannung (N/mm²)
σ x = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σ y = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τ xy = Schubspannung (N/mm²)
Berechnung statisch bestimmter Träger bei verschiedenen Einspannverhältnissen
Mit den Berechnungsprogrammen können statisch bestimmte Träger mit konstantem Querschnitt berechnet
werden.
Die Auflagerkräfte, Biegemomente und die Durchbiegung werden ermittelt.
Tabellen mit Festigkeitswerten
Eine Sammlung von Festigkeitswerten für Stahlwerkstoffe, Stahl- und Gusseisen, Aluminium und Kunststoffe, wird mit dem folgenden Button angezeigt.
nach oben
Bezeichnung von Festigkeitswerten
| Festigkeitswerte | Belastungsart | |
| Rm | Zugfestigkeit | Zug |
| Re | Streckgrenze | Zug |
| σW | Wechselfestigkeit | Zug |
| σSch | Schwellfestigkeit | Zug |
| σbW | Wechselfestigkeit | Biegung |
| σSch | Schwellfestigkeit | Biegung |
| σbF | Fließgrenze | Biegung |
| Ï„tW | Wechselfestigkeit | Torsion |
| Ï„tSch | Schwellfestigkeit | Torsion |
| τtF | Fließgrenze | Torsion |
nach oben
E-Modul - G-Modul
σ= Spannung (N/mm2)
ε = Dehnung (-)
ν = Querkontrationszahl (-)
σ= Spannung (N/mm2)
ε = Dehnung (-)
ν = Querkontrationszahl (-)
Allgemeine Festigkeitswerte
| Werkstoff | E-Modul - E (N/mm2) | G-Modul - G (N/mm2) | Querkontrationszahl ν (-) |
| Stahl | 210000 | 80700 | 0,3 |
| Aluminium | 70000 (69000 - 75000) | 26300 | 0,33 |
| Messing | 90000 (78000 - 133000) | 32800 | 0,37 |
| Beton | 30000 (22000 - 45000) | 12500 | 0,20 |
Dauerfestigkeitswerte
Liegt die Festigkeit durch die Brinellhärte vor, kann als Mittelwert folgende Umrechnung benutzt werden.
R m ≈ 3,2 * HHB - vergütete und einsatzgehärtete Stähle
R m ≈ 3,4 * HHB - weichgeglühte normalisierte Stähle
H HB = Brinellhärte
H HB = Brinellhärte
| Werkstoff | Zug 2 | Biegung 1) | Torsion 1) | |||||
| σW | σSch | σbW | σbSch | σbF | τtW | τtSch | τtF | |
| Baustahl | 0,45 Rm | 1,3 σW | 0,49 Rm | 1,5 σbW | 1,5 Re | 0,35 Rm | 1,1 τtW | 0,7 Re |
| Vergütungsstahl | 0,41 Rm | 1,7 σW | 0,44 Rm | 1,7 σbW | 1,4 Re | 0,30 Rm | 1,6 τtW | 0,7 Re |
| Einsatzstahl | 0,40 Rm | 1,6 σW | 0,41 Rm | 1,7 σbW | 1,4 Re | 0,30 Rm | 1,4 τtW | 0,7 Re |
| Grauguss | 0,25 Rm | 1,6 σW | 0,37 Rm | 1,8 σbW | - | 0,36 Rm | 1,6 τtW | - |
| Leichtmetall | 0,30 Rm | - | 0,40 Rm | - | - | 0,25 Rm | - | |
1) Für polierte Rundproben von etwa 10 mm Druchmesser
2) Für Druck ist σSch größer, z.B. für Grauguß σdSch ≈ 3 . σSch
nach oben Zulässige Pressungswerte N/mm² - [1]
| Werkstoffart | ruhende Belastung | schwellende Belastung |
| Zähe Werkstoffe |
 |
 |
| Spröde Werkstoffe |
 |
 |
σdF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)
Zulässige Pressungswerte bei Festsitze N/mm² - [1]
| Werkstoffpaarung | ruhende | schwellende | wechselnde |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / Bronze | 32 | 22 | 16 |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / GJL | 70 | 50 | 32 |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / GS | 80 | 56 | 45 |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / Stahl Rm=370 N/mm2 | 90 | 63 | 45 |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / Stahl Rm=500 N/mm2 | 125 | 90 | 56 |
| Stahl gehärtet / Stahl Rm=600 N/mm2 | 160 | 100 | 63 |
| Stahl gehärtet / Stahl Rm=700 N/mm2 | 180 | 110 | 70 |
nach oben Zulässige Flächenpressung für Gleitsitze bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten N/mm² - [1]
Werkstoffpaarung harte und geschliffene Bolzenoberfläche (Ra ca. 0,4 μm) fremdgeschmiert.
| Werkstoffpaarung | ruhende | schwellende |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / GJL | 5 | 3,5 |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / GS | 7 | 4,9 |
| Stahl Rm=500 N/mm2 / Bronze | 8 | 5,6 |
| Stahl gehärtet / Bronze | 10 | 7 |
| Stahl gehärtet / Stahl gehärtet | 25 | 17,5 |
Rm = Zugfestigkeit (N/mm²)
nach oben Zulässige Hertzsche Pressung bei dynamischer Belastung nach Niemann
| Kontaktart | zul. Hertsche Pressung N/mm² |
| Linienberührung | pmax,zul,dyn = 3 * HB |
| Punktberührung | pmax,zul,dyn = 5,25 * HB |
nach oben Zulässige Hertzsche Pressung für rollende Anwendung
| Ãœberrollungen | Beanspruchbarkeit | |
| Dauerfestigkeit | N ≥ 2*106 | pmax,zul,dyn = 3 * HB |
| Zeitfestigkeit | 105 < N < 2*106 | pmax,zul,dyn = 3 * HB * (2*106 /N)0,2 |
| Kurzzeitfestigkeit | N ≤ 105 | pmax,zul,dyn = 5,4 * HB |
pmax,zul,dyn = dauerhafte ertragbare Hertzsche Pressung (N/mm²) (33 Millionen
Ãœberrollungen)
HB = Brinellhärte (HB)
N = Anzahl Ãœberrollungen
Kerbwirkung - Kerbformzahl
Die Spannung in einem Bauteil hängt auch von der Form des Bauteils ab. Insbesondere im Bereich
konstruktiv bedingter Kerben kommt es örtlich zu Spannungskonzentrationen. Infolge der
Verformungsbehinderung ergeben sich im Kerbgrund Spannungsspitzen, die über den Nennspannungen des
ungestörten Bauteils liegen.
Die Kerbformzahl α k ist nur von der Kerbform und der Beanspruchungsart, nicht von den
Werkstoffeigenschaften abhängig.
Zug / Druck
Biegung
Torsion
σ max = max. Normalspannung (N/mm²)
σ n = Normalspannung (N/mm²)
α kb = Kerbformzahl Biegung (-)
σ bmax = max. Biegespannung (N/mm²)
σ b = Biegespannung (N/mm²)
α kt = Kerbformzahl Torsion (-)
τ tmax = max. Torsionsspannung (N/mm²)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
σ max = max. Normalspannung (N/mm²)
σ n = Normalspannung (N/mm²)
α kb = Kerbformzahl Biegung (-)
σ bmax = max. Biegespannung (N/mm²)
σ b = Biegespannung (N/mm²)
α kt = Kerbformzahl Torsion (-)
τ tmax = max. Torsionsspannung (N/mm²)
τ t = Torsionsspannung (N/mm²)
nach oben
nach oben
Kerbwirkungszahl
Bei wechselnder Beanspruchung kann es durch das begrenzte Formänderungsvermögen zu keinem dauerhaften
Spannungsabbau kommen. Zur Auslegung dynamisch beanspruchter Bauteile wird daher die Kerbwirkungszahl βk
als Verhältnis der Dauerfestigkeit σD eines glatten, polierten Stabes zur Dauerfestigkeit σDk der glatten
Probe herangezogen.
Die Kerbwirkungszahl βk ist abhängig von der Beanspruchungsart, der Kerbform sowie vom Werkstoff und wird
experimentell ermittelt.
nach oben
Berechnungsprogramm Kerbwirkungszahlen
Berechnung der Kerbwirkungszahl für verschiedene Kerbformen.
α k = Kerbformzahl (-)
η k = Stützziffer (-)
R p0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
R m = Zugfestigkeit (N/mm2)
r = Kerbradius (mm)
α k = Kerbformzahl (-)
η k = Stützziffer (-)
R p0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
R m = Zugfestigkeit (N/mm2)
r = Kerbradius (mm)
Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit
Bei der Berechnung der Dauerfestigkeit eines Bauteils sind verschiedene Einflussfaktoren zu
berücksichtigen:
- Technologischer Größeneinflussfaktor K1
Der Faktor K1 berücksichtigt, dass die erreichbare Härte beim Vergüten bzw. Einsatzhärten mit steigendem
Durchmesser abnimmt.
- Geometrischer Größeneinflussfaktor K2
Der geometrische Größeneinflussfaktor K2 berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser oder Dicken
die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit übergeht und analog auch die
Torsionswechselfestigkeit sinkt.
- Einflussfaktor Oberflächenrauigkeit Kf
Der Einflussfaktor Kf der Oberflächenrauheit, berücksichtigt den zusätzlichen Einfluss der Rauheit auf die
örtlichen Spannungen und damit auf die Dauerfestigkeit des Bauteils.
- Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung Kv
Der Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung Kv berücksichtigt den Einfluss (Eigenspannung, Härte) des
veränderten Oberflächenzustandes durch das jeweilige technologische Verfahren auf die Dauerfestigkeit.
nach oben
Berechnungsprogramm - Einflussfaktor auf die Dauerfestigkeit
Berechnung der Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit wie
- Größeneinflussfaktoren
- Oberflächenrauigkeit
- Oberflächenverfestigung
nach oben
Gestaltfestigkeit
Bei der Gestaltfestigkeit werden Einflüsse wie Kerbwirkung, Größen- und Oberflächeneinfluss, welche die
Festigkeit beeinträchtigen, bei der Berechnung der Gestaltfestigkeit, berücksichtigt.
Vergleichs-Mittelspannung
Aus den Beanspruchungsspannungen des Bauteils wird die Vergleichs-Mittelspannung ermittelt.
Bauteil-Wechselspannung
Aus dem zul. Festigkeitswert des Werkstoffes wird an Hand der Einflussfaktoren die Bauteil-Wechselspannung
berechnet.
Mittelspannungsempfindlichkeit
Zur Kennzeichnung des Einflusses der Mittelspannung auf die dauernd ertragbare Spannungsamplitude wird mit
der Mittelspannungsempfindlichkeit berücksichtigt.
Sicherheit bei Ermüdungsbruch
Unter Berücksichtigung der auftretenden Beanspruchungsspannungen und der Bauteil-Ausschlagfestigkeit wird
der Sicherheitswert berechnet.
Berechnungsformeln zur Berechnung der Gestaltfestigkeit
Berechnung der
- Vergleichs-Mittelspannung
- Bauteil-Wechselspannung
- Mittelspannungsempfindlichkeit
- Sicherheit bei Ermüdungsbruch
nach oben
Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith
Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds wenn σw, Rm und Re gegeben ist
1. Waagrechte Linie für Rm und Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie (κ=+1)
4. von P3 nach links σw/2 auftragen (P4)
5. Linie von P1 nach P4
6. Bei Re waagrechte von P5 nach P6
7. Vertikaler Abstand von P6 zur 45° Linie (P7) ermitteln und nach unten auftragen (P8)
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden
1. Waagrechte Linie für Rm und Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie
4. von P3 nach links σw/2 auftragen (P4)
5. Linie von P1 nach P4
6. Bei Re waagrechte von P5 nach P6
7. Vertikaler Abstand von P6 zur 45° Linie (P7) ermitteln und nach unten auftragen (P8)
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden
Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds wenn σschw und Re gegeben ist
1. Waagrechte Linie für Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie (κ=+1) Schnittpunkt ergibt P3
4. Auf der σm Achse σschw/2 auftragen P4
5. Senkrecht über P4 ergibt auf der Linie κ=0 Punkt P5
6. Schnittpunkt mit Linie P1 und P5 mit Re ergibt P6
7. Von P6 senkrecht nach unten und Schnittpunkt mit Linie von P2 und P4 ergibt P7
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden
1. Waagrechte Linie für Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie (κ=+1) Schnittpunkt ergibt P3
4. Auf der σm Achse σschw/2 auftragen P4
5. Senkrecht über P4 ergibt auf der Linie κ=0 Punkt P5
6. Schnittpunkt mit Linie P1 und P5 mit Re ergibt P6
7. Von P6 senkrecht nach unten und Schnittpunkt mit Linie von P2 und P4 ergibt P7
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden