Festigkeitsberechnungen

Spannungsarten

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Einachsiger Spannungszustand

Wenn Spannungen mit gleichem Richtungsvektor zusammengefasst werden sollen, werden sie algebraisch addiert, z. B. bei Zug und Biegung.

Vergleichsspannung - Mehrachsiger Spannungszustand

Bei mehrachsigem Spannungszustand werden Vergleichsspannungs-Hypothesen zur Berechnung der Gesamtspannung verwendet.

Gestaltänderungshypothese (GEH)

Mit der Gestaltänderungshypothese wird die Vergleichsspannung ermittelt, die beim beanspruchten Bauteil dieselbe Gestaltänderungsarbeit hervorrufen würde wie die anderen Spannungen zusammen. Die Gestaltänderungshypothese wird bei zähen Werkstoffen (z.B. Stahl) verwendet, welche hauptsächlich im Maschinenbau und Stahlbau eingesetzt wird. Voraussetzung für die Anwendung dieser Vergleichsspannungshypothese ist, dass man ein isotropes Material annehmen kann, das auf Zug und Druck die gleiche Belastbarkeit hat.

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Normalspannungshypothese (NH)

Die Normalspannungshypothese wird bei einem spröden und trennbruchempfindlichen Werkstoff angewendet, z. B. Grauguss, Keramik, Glas.

Schubspannungshypothese (SH)

Bei der Schubspannungshypothese muss der Werkstoff verformungsfähig sein und dass das Versagen durch die maximale Schubspannung hervorgerufen wird.

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Anstrengungsverhältnis bei wechselnder Beanspruchung

Der Einfluss wechselnder Beanspruchung auf die Festigkeit wird durch das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt.

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Dehnungen und Spannungen für dreiachsigen Spannungszustand

Mohrscher Spannungskreis

Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt.
Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich wie folgt konstruieren.
Gegeben: σ_x, σ_y, τ_xy - (σ_x > σ_y)
1. Punkt P1 (σ_x|τ_xy) und Punkt P2 (σ_y|-τ_xy) in das Koordinatensystem einzeichnen.
2. Punkt P1 mit P2 verbinden.
3. Der Schnitt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ist der Kreismittelpunkt σ_m
4. Kreis mit dem Mittelpunkt σ_m durch die Punkte P1 und P2 zeichnen
5. Die Hauptspannungen liegen auf der σ-Achse am äußersten Rand des Kreises (τ_xy = 0).

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Der Winkel 2α∗ zwischen Verbindungslinie und σ-Achse sagt aus, dass wenn man das Koordinatensystem X-Y entgegen des Uhrzeigersinn um den Winkel α∗ dreht, die Normalspannungen dort ihre Extremwerte annehmen. Die Richtung der Hauptspannungen σ₁ wird bestimmt, indem σ₂ mit dem Punkt P1 verbunden wird. Die Richtung der Hauptspannung σ₂ wird bestimmt, indem σ₁ mit dem Punkt P1 verbunden wird.

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Spannungstransformation

Um die Spannungen zu ermitteln, die in einem anderen Winkel φ zur Normalspannungsebnen liegen, sind die unten aufgeführten Formeln zu verwenden.
Folgende Spannungen müssen bekannt sein: σ_x, σ_y, τ_xy

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Allgemeine Festigkeitswerte

Tabellen mit Festigkeitswerten

Eine Sammlung von Festigkeitswerten für Stahlwerkstoffe, Stahl- und Gusseisen, Aluminium und Kunststoffe, wird mit dem folgenden Button angezeigt.

Bezeichnung von Festigkeitswerten

Festigkeitswerte		Belastungsart
Rm	Zugfestigkeit	Zug
Re	Streckgrenze	Zug
σW	Wechselfestigkeit	Zug
σSch	Schwellfestigkeit	Zug
σbW	Wechselfestigkeit	Biegung
σSch	Schwellfestigkeit	Biegung
σbF	Fließgrenze	Biegung
τtW	Wechselfestigkeit	Torsion
τtSch	Schwellfestigkeit	Torsion
τtF	Fließgrenze	Torsion

Dauerfestigkeitswerte

E-Modul - G-Modul

Werkstoff	E-Modul - E (N/mm2)	G-Modul - G (N/mm2)	Querkontrationszahl ν (-)
Stahl	210000	80700	0,3
Aluminium	70000 (69000 - 75000)	26300	0,33
Messing	90000 (78000 - 133000)	32800	0,37
Beton	30000 (22000 - 45000)	12500	0,20

Allgemeine Festigkeitswerte

Werkstoff	Zug 2)		Biegung 1)			Torsion 1)
	σW	σSch	σbW	σbSch	σbF	τtW	τtSch	τtF
Baustahl	0,45 Rm	1,3 σW	0,49 Rm	1,5 σbW	1,5 Re	0,35 Rm	1,1 τtW	0,7 Re
Vergütungsstahl	0,41 Rm	1,7 σW	0,44 Rm	1,7 σbW	1,4 Re	0,30 Rm	1,6 τtW	0,7 Re
Einsatzstahl	0,40 Rm	1,6 σW	0,41 Rm	1,7 σbW	1,4 Re	0,30 Rm	1,4 τtW	0,7 Re
Grauguss	0,25 Rm	1,6 σW	0,37 Rm	1,8 σbW	-	0,36 Rm	1,6 τtW	-
Leichtmetall	0,30 Rm	-	0,40 Rm	-	-	0,25 Rm		-

1) Für polierte Rundproben von etwa 10 mm Druchmesser
2) Für Druck ist σ_Sch größer, z.B. für Grauguß σ_dSch ≈ 3 . σ_Sch

Zulässige Pressungswerte N/mm² - [2]

Werkstoffart	ruhende Belastung	schwellende Belastung
Zähe Werkstoffe
Spröde Werkstoffe

σ_dF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ_dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)

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Zulässige Pressungswerte bei Festsitze N/mm² - [2]

Werkstoffpaarung	ruhende	schwellende	wechselnde
Stahl Rm=500 N/mm2 / Bronze	32	22	16
Stahl Rm=500 N/mm2 / GJL	70	50	32
Stahl Rm=500 N/mm2 / GS	80	56	45
Stahl Rm=500 N/mm2 / Stahl Rm=370 N/mm2	90	63	45
Stahl Rm=500 N/mm2 / Stahl Rm=500 N/mm2	125	90	56
Stahl gehärtet / Stahl Rm=600 N/mm2	160	100	63
Stahl gehärtet / Stahl Rm=700 N/mm2	180	110	70

Zulässige Flächenpressung für Gleitsitze bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten N/mm² - [2]
Werkstoffpaarung harte und geschliffene Bolzenoberfläche (Ra ca. 0,4 μm) fremdgeschmiert.

Werkstoffpaarung	ruhende	schwellende
Stahl Rm=500 N/mm2 / GJL	5	3,5
Stahl Rm=500 N/mm2 / GS	7	4,9
Stahl Rm=500 N/mm2 / Bronze	8	5,6
Stahl gehärtet / Bronze	10	7
Stahl gehärtet / Stahl gehärtet	25	17,5

R_m = Zugfestigkeit (N/mm²)

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Zulässige Hertzsche Pressung bei dynamischer Belastung nach Niemann

Kontaktart	zul. Hertsche Pressung N/mm²
Linienberührung	pmax,zul,dyn = 3 * HB
Punktberührung	pmax,zul,dyn = 5,25 * HB

Zulässige Hertzsche Pressung für rollende Anwendung

	Überrollungen	Beanspruchbarkeit
Dauerfestigkeit	N ≥ 2*106	pmax,zul,dyn = 3 * HB
Zeitfestigkeit	105 < N < 2*106	pmax,zul,dyn = 3 * HB * (2*106 /N)0,2
Kurzzeitfestigkeit	N ≤ 105	pmax,zul,dyn = 5,4 * HB

p_max,zul,dyn = dauerhafte ertragbare Hertzsche Pressung (N/mm²) (33 Millionen Überrollungen) 
HB  = Brinellhärte (HB)
N  = Anzahl Überrollungen

[2] B. Schlecht - Maschinenelemente Tabellen und Formelsammlung Band 3

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Kerbwirkung - Kerbformzahl

Die Spannung in einem Bauteil hängt auch von der Form des Bauteils ab. Insbesondere im Bereich konstruktiv bedingter Kerben kommt es örtlich zu Spannungskonzentrationen. Infolge der Verformungsbehinderung ergeben sich im Kerbgrund Spannungsspitzen, die über den Nennspannungen des ungestörten Bauteils liegen.
Die Kerbformzahl α k ist nur von der Kerbform und der Beanspruchungsart, nicht von den Werkstoffeigenschaften abhängig.

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Kerbwirkungszahl

Bei wechselnder Beanspruchung kann es durch das begrenzte Formänderungsvermögen zu keinem dauerhaften Spannungsabbau kommen. Zur Auslegung dynamisch beanspruchter Bauteile wird daher die Kerbwirkungszahl βk als Verhältnis der Dauerfestigkeit σD eines glatten, polierten Stabes zur Dauerfestigkeit σDk der glatten Probe herangezogen.
Die Kerbwirkungszahl βk ist abhängig von der Beanspruchungsart, der Kerbform sowie vom Werkstoff und wird experimentell ermittelt.

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Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit

Bei der Berechnung der Dauerfestigkeit eines Bauteils sind verschiedene Einflussfaktoren zu berücksichtigen:

- Technologischer Größeneinflussfaktor K1
Der Faktor K1 berücksichtigt, dass die erreichbare Härte beim Vergüten bzw. Einsatzhärten mit steigendem Durchmesser abnimmt.

- Geometrischer Größeneinflussfaktor K2
Der geometrische Größeneinflussfaktor K2 berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser oder Dicken die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit übergeht und analog auch die Torsionswechselfestigkeit sinkt.

- Einflussfaktor Oberflächenrauigkeit Kf
Der Einflussfaktor Kf der Oberflächenrauheit, berücksichtigt den zusätzlichen Einfluss der Rauheit auf die örtlichen Spannungen und damit auf die Dauerfestigkeit des Bauteils.

- Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung Kv
Der Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung Kv berücksichtigt den Einfluss (Eigenspannung, Härte) des veränderten Oberflächenzustandes durch das jeweilige technologische Verfahren auf die Dauerfestigkeit.

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Gestaltfestigkeit

Bei der Gestaltfestigkeit werden Einflüsse wie Kerbwirkung, Größen- und Oberflächeneinfluss, welche die Festigkeit beeinträchtigen, bei der Berechnung der Gestaltfestigkeit, berücksichtigt.

Vergleichs-Mittelspannung
Aus den Beanspruchungsspannungen des Bauteils wird die Vergleichs-Mittelspannung ermittelt.

Bauteil-Wechselspannung
Aus dem zul. Festigkeitswert des Werkstoffes wird an Hand der Einflussfaktoren die Bauteil-Wechselspannung berechnet.

Mittelspannungsempfindlichkeit
Zur Kennzeichnung des Einflusses der Mittelspannung auf die dauernd ertragbare Spannungsamplitude wird mit der Mittelspannungsempfindlichkeit berücksichtigt.

Sicherheit bei Ermüdungsbruch
Unter Berücksichtigung der auftretenden Beanspruchungsspannungen und der Bauteil-Ausschlagfestigkeit wird der Sicherheitswert berechnet.

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Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith

Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds wenn σ_w, R_m und R_e gegeben ist

Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubilds wenn σ_schw und R_e gegeben ist

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