Formelsammlung und Berechnungsprogramme
Maschinen- und Anlagenbau

Update: 22.11.2022

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Dieses Lehrbuch zur Technischen Mechanik behandelt den gesamten Stoffumfang der Grundlagenausbildung der Kurse Statik - Festigkeitslehre - Kinematik/Kinetik.

Das Standardwerk stellt die wichtigsten Maschinenelemente in kompakter und verständlicher Form dar.

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Verbindungselemente

Seitenübersicht:

Passfeder
- Flächenpressung der Welle
- Flächenpressung der Nabe
- Scherspannung in der Passfeder
- Erforderliche Passfederlänge
- Zulässige Pressung
Steckstift
- Flächenpressung
- Biegespannung
- Scherspannung
Längsstift
- Flächenpressung
- Scherspannung
Querstift
- Flächenpressung Wellenbohrung
- Flächenpressung Nabenbohrung
- Scherspannung Stift
- Polares Widerstandsmoment der Welle durch die Schwächung des Stifts
- Zulässige Beanspruchung für glatte Stifte bei Presssitz
Profilwellenverbindung
Bolzenverbindung
- Max. Biegemoment - Stange Spielpassung - Gabel Spielpassung
- Max. Biegemoment - Stange Spielpassung - Gabel Übermaßpassung
- Max. Biegemoment - Stange Übermaß - Gabel Spielpassung
- Zulässige Beanspruchung für glatte Bolzen bei Gleitsitz
Augenstab
- Abmessungen eines Augenstabs
- Richtwerte für die Abmessungen eines Augenstabs

Passfeder

Mittlere überschlägige Pressung an der Welle

Widerstandsmoment der Welle mit Passfedernut
Widerstandsmoment mit Passfeder

p _W = mittlere Pressung Welle (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d = Wellendurchmesser (mm)
t ₁ = Wellen Nuttiefe (mm)
l _t = tragende Passfederlänge (mm)
n = Anzahl der Passfedern (-)
φ = Traganteil bei mehreren Passfedern
n = 1 - φ = 1
n = 2 - φ = 0,75
W _t = polares Widerstandsmoment der Welle mit Passfedernut (mm³)
D _i = Durchmesser ohne Passfedernut (mm)

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Mittlere überschlägige Pressung an der Nabe

p _N = mittlere Pressung Nabe (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d = Wellendurchmesser (mm)
h = Passfederhöhe (mm)
t ₁ = Wellen Nuttiefe (mm)
l _t = tragende Passfederlänge (mm)
n = Anzahl der Passfedern (-)
φ = Traganteil bei mehreren Passfedern
n = 1 - φ = 1
n = 2 - φ = 0,75

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Scherspannung in der Passfeder

τ = Scherspannung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d = Wellendurchmesser (mm)
b = Passfederbreite (mm)
l _t = tragende Passfederlänge (mm)
n = Anzahl der Passfedern (-)
φ = Traganteil bei mehreren Passfedern
n = 1 - φ = 1
n = 2 - φ = 0,75

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Erforderliche tragende Passfederlänge

l _t = tragende Passfederlänge (mm)
l = gesamte Passfederlänge (mm)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d = Wellendurchmesser (mm)
h = Passfederhöhe (mm)
b = Passfederbreite (mm)
t ₁ = Wellen Nuttiefe (mm)
n = Anzahl der Passfedern (-)
φ = Traganteil bei mehreren Passfedern
n = 1 - φ = 1
n = 2 - φ = 0,75
p _zul = zulässige Pressung (N/mm²)

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Zulässige Pressung nach [1]

S _F : Stahl, Grauguss = 1,1 ... 1,5
S _B : Grauguss = 1,5 ... 2,0

p _zul = zulässige Pressung (N/mm²)
R _p0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
R _m = Bruchgrenze (N/mm²)
S _F = Sicherheit Fließgrenze (-)
S _B = Sicherheit Bruchgrenze (-)

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Zulässige Pressung nach [2]

Grundpressungswert p ₀ bei Naben
Stahl = 150 N/mm²
Grauguss = 90 N/mm²
Temperguss = 110 N/mm²
Bronze, Messing = 50 N/mm²
AlCuMg-Leg., ausgehärtet = 100 N/mm²
AlMg-, AlMn-Leg. ausgehärtet = 90 N/mm²
AlSi-Gussleg., AlSiMg-Gussleg. = 70 N/mm²

Zulässige Pressung p _zul bei verschiedenen Beanspruchungen
einseitig ruhend = 0,8 * p ₀
einseitig, leichte Stöße = 0,7 * p ₀
einseitig, starke Stöße = 0,6 * p ₀
wechselnd, leichte Stöße = 0,45 * p ₀ (*
wechselnd, starke Stöße = 0,25 * p ₀ (*
(* für Passfeder nicht zu empfehlen

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Steckstift

Flächenpressung durch Querkraft und Biegemoment

p = Flächenpressung (N/mm²)
F = Kraft (N)
d = Stiftdurchmesser (mm)
s = Plattendicke (mm)
l = Kraftabstand bis Oberkante Platte (mm)

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Biegespannung

σ _b = Biegespannung (N/mm²)
F = Kraft (N)
d = Stiftdurchmesser (mm)
s = Plattendicke (mm)
l = Kraftabstand bis Oberkante Platte (mm)

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Scherspannung

τ = Scherspannung (N/mm²)
F = Kraft (N)
d = Stiftdurchmesser (mm)

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Längsstift

Flächenpressung am Stift

p = Flächenpressung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d = Stiftdurchmesser (mm)
D = Wellendurchmesser (mm)
L = Stiftlänge (mm)

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Scherspannung am Stift

p = Flächenpressung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d = Stiftdurchmesser (mm)
D = Wellendurchmesser (mm)
L = Stiftlänge (mm)

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Querstift

Flächenpressung Wellenbohrung

p _W = Flächenpressung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d _S = Stiftdurchmesser (mm)
D _W = Wellendurchmesser (mm)

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Flächenpressung Nabenbohrung

p _N = Flächenpressung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d _S = Stiftdurchmesser (mm)
D _W = Wellendurchmesser (mm)
s = Dicke Nabenwand (mm)

p _W = Flächenpressung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d _S = Stiftdurchmesser (mm)
D _W = Wellendurchmesser (mm)
s = Dicke Nabenwand (mm)

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Scherspannung am Stift

τ = Scherspannung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d _S = Stiftdurchmesser (mm)
D _W = Wellendurchmesser (mm)

p _W = Flächenpressung (N/mm²)
M _t = Torsionsmoment (Nmm)
d _S = Stiftdurchmesser (mm)
D _W = Wellendurchmesser (mm)

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Polares Widerstandsmoment der Welle durch die Schwächung des Stifts

Nach Niemann kann durch die Schwächung des Stifts, das folgende polare Widerstandsmoment der Welle angesetzt werden.

W _p = Polares Widerstandsmoment (N/mm²)
d _S = Stiftdurchmesser (mm)
D _W = Wellendurchmesser (mm)

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Zulässige Beanspruchung für glatte Stifte bei Presssitz (N/mm²)

	ruhend			schwellend			wechselnd			Literatur
Werkstoff	p_zul	σ_b,zul	τ_zul	p_zul	σ_b,zul	τ_zul	p_zul	σ_b,zul	τ_zul	Literatur
S235 (St 37)	98	190	80	72	145	60	36	75	30	[3]
E295 (St 50)	104	190	80	76	145	60	38	75	30	[3]
C 35 / C45		140	90		100	63		63	45	[4]
Stahlguss	83	190	80	62	145	60	31	75	30	[3]
Grauguss	68	190	80	52	145	60	26	75	30	[3]
CuSn-, CuZn-Leg.	40	190	80	29	145	60	14	75	30	[3]
AlCuMg-Leg.	65	190	80	47	145	60	23	75	30	[3]
AlSi-Leg.	45	190	80	33	145	60	16	75	30	[3]

Zulässige Werte für Kerbstifte (N/mm²)

Pressung	p_zul * 0,7
Biegespannung	σ_zul * 0,8
Scherspannung	τ_zul * 0,8

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Profilwellenverbindung

Die Beanspruchungsverhältnisse in Profilwellen sind so komplex, dass Sie durch ein einfaches Berechnungsmodell nur unzureichend erfasst werden.
Bei kurzen Wellen ist eine überschlägige Berechnung auf Flächenpressung sinnvoll.

Nabenlänge bei zul. Flächenpressung

L = Nabenlänge (mm)
M_t = Torsionsmoment (Nmm)
d_m = mittlerer Profildurchmesser (mm)
h_t = tragende Keil- oder Zahnflanke (mm)
i = Anzahl der Mitnehmer (-)
p_zul = zul. Flächenpressung (N/mm²)
φ = Traganteil (-)
- Keilwelle mit Innenzentrierung φ = 0,75
- Keilwelle mit Flankenzentrierung φ = 0,90
- Kerbverzahnung φ = 0,50
- Evolventenverzahnung φ = 0,75

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Nabenlänge Polygonprofil P3G

Nabenwanddicke

k - d₁ ≤ 35 - k = 1,44

k - d₁ > 35 - k = 1,20

Nabenlänge Polygonprofil P4G

Nabenwanddicke

M_t = Torsionsmoment (Nmm)
e_1-2 = rechn. Exzentergröße (mm)
d_1-2 = mittl. Durchmesser (mm)
p_zul = zul. Flächenpressung (N/mm²)
s = Nabenwanddicke (mm)
σ_z,zul = zul. Zugspannung (N/mm²)

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Bolzenverbindungen

Max. Biegemoment - Stange Spielpassung - Gabel Spielpassung

Der Bolzen wird als frei aufliegender Träger angenommen.

M _b,max = max. Biegemoment (Nmm)
F = Stangenkraft (N)
t _S = Stangenbreite (mm)
t _G = Gabelbreite (mm)

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Max. Biegemoment - Stange Spielpassung - Gabel Übermaßpassung

Der Bolzen wird als beidseitig eingespannter Träger angenommen.

M _b,max = max. Biegemoment (Nmm)
F = Stangenkraft (N)
t _S = Stangenbreite (mm)

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Max. Biegemoment - Stange Übermaß - Gabel Spielpassung

Der Bolzen wird als mittig eingespannter Träger angenommen.

M _b,max = max. Biegemoment (Nmm)
F = Stangenkraft (N)
t _G = Gabelbreite (mm)

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Bauteilabmessungen für Bolzen, Stange und Gabel

Richtwerte für Stangen- und Gabelbreite.
- bei nicht gleitenden Flächen: t _S / d = 1,0 und t _G / d = 0,5
- bei gleitenden Flächen: t _S / d = 1,6 und t _G / d = 0,6

Richtwert für den Nabendurchmesser an Stange und Gabel
D ≈ 2,5...3 * d bei Stahl und Stahlguss
D ≈ 3...3,5 * d bei Gusseisen mit Lamellengraphit

Näherungsformel für den Bolzendurchmesser

d = Bolzendurchmesser (mm)
F = Stangenkraft (N)
σ _b,zul = zul. Biegespannung (N/mm²)
F = Stangenkraft (N)
k = Einspannfaktor (Klammerwert bei gleitenden Flächen)
k = 1,6 (1,9) Stange Spielpassung - Gabel Spielpassung
k = 1,1 (1,4) Stange Spielpassung - Gabel Übermaßpassung
k = 1,6 (1,9) Stange Übermaßpassung - Gabel Spielpassung

d = Bolzendurchmesser (mm)
F = Stangenkraft (N)
σ _b,zul = zul. Biegespannung (N/mm²)
F = Stangenkraft (N)
k = Einspannfaktor (Klammerwert bei gleitenden Flächen)
k = 1,6 (1,9) Stange Spielpassung - Gabel Spielpassung
k = 1,1 (1,4) Stange Spielpassung - Gabel Übermaßpassung
k = 1,1 (1,2) Stange Übermaßpassung - Gabel Spielpassung

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Zulässige Beanspruchung für glatte Bolzen bei Gleitsitz (N/mm²)

	ruhend			schwellend			wechselnd
Werkstoff	p_zul	σ_b,zul	τ_zul	p_zul	σ_b,zul	τ_zul	p_zul	σ_b,zul	τ_zul
S235 (St 37)	30	200	80	24	140	60	12	70	30
E295 (St 50)	30	200	80	24	140	60	12	70	30
Stahlguss	30	200	80	24	140	60	12	70	30
Grauguss	40	200	80	32	140	60	16	70	30
CuSn-, CuZn-Leg.	40	200	80	32	140	60	16	70	30
AlCuMg-Leg.	20	200	80	16	140	60	8	70	30
AlSi-Leg.	20	200	80	16	140	60	8	70	30

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Augenstab

Abmessungen eines Augenstabes

Im Stahlbau (im Maschinenbau als Leichtbauausführung) werden Augenstäbe mit Bolzen verwendet, wenn häufiges und einfaches Lösen der Verbindung verlangt wird. Die unten genannten Abmessungen sind Richtwerte für Grenzabmessungen bei ausgewogener Beanspruchung.

Dicke der Mittellasche
Augenstab Mittellasche

Dicke der Außenlasche
Augenstab Außenlasche

Lochdurchmesser
Augenstab Lochdurchmesser

Scheitelhöhe des Augenstabs
Augenstab Scheitelhöhe

Wangenbreite des Augenstabs
Augenstab Wangenbreite

t _m = Dicke der Mittellasche (mm)
t _a = Dicke der Außenlasche (mm)
F = Stangenkraft (N)
S _M = Sicherheitsfaktor (-) - 1,1 n. DIN 18800 T1
R _e = Streckgrenze (N/mm²)
d = Lochdurchmesser (mm)
a = Scheitelhöhe des Augenstabs (mm)
c = Wangenbreite des Augenstabs (mm)

Richtwerte für die Abmessungen eines Augenstabs
- Lochdurchmesser: d = 2,5 * t_m
- Scheitelhöhe: a = 1,1 * d
- Wangenbreite: c = 0,75 * d

[1] Roloff/Matek: Maschinenelemente
[2] Prof. A. Ettemeyer: Konstruktionselemente TH München
[3] Schlecht: Maschinenelemente - Tabellen und Formelsammlung
[4] Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau

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Verbindungselemente

Seitenübersicht:

Passfeder

Mittlere überschlägige Pressung an der Welle

Mittlere überschlägige Pressung an der Nabe

Scherspannung in der Passfeder

Erforderliche tragende Passfederlänge

Zulässige Pressung nach [1]

Zulässige Pressung nach [2]

Steckstift

Flächenpressung durch Querkraft und Biegemoment

Biegespannung

Scherspannung

Längsstift

Flächenpressung am Stift

Scherspannung am Stift

Querstift

Flächenpressung Wellenbohrung

Flächenpressung Nabenbohrung

Scherspannung am Stift

Polares Widerstandsmoment der Welle durch die Schwächung des Stifts

Zulässige Beanspruchung für glatte Stifte bei Presssitz (N/mm²)

Zulässige Werte für Kerbstifte (N/mm2)

Profilwellenverbindung

Nabenlänge bei zul. Flächenpressung

Nabenlänge Polygonprofil P3G

Nabenlänge Polygonprofil P4G

Bolzenverbindungen

Max. Biegemoment - Stange Spielpassung - Gabel Spielpassung

Max. Biegemoment - Stange Spielpassung - Gabel Übermaßpassung

Max. Biegemoment - Stange Übermaß - Gabel Spielpassung

Bauteilabmessungen für Bolzen, Stange und Gabel

Zulässige Beanspruchung für glatte Bolzen bei Gleitsitz (N/mm²)

Augenstab

Abmessungen eines Augenstabes

Zulässige Werte für Kerbstifte (N/mm²)