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Umfassende Informationen, Normenaktualität leichte Verständlichkeit und schnelle Nutzbarkeit der Auslegungs- oder Berechnungsgleichungen
Standardwerk der Ingenieure in Studium und Beruf mit den Schwerpunkten "Allgemeiner Maschinenbau"
www.schweizer-fn.de
Wellen - Achsen
Seitenübersicht:
Auslegungs-Durchmesser- Wellendurchmesser bei Biegung
- Achsen mit gleicher Festigkeit - Angeformte Achsen
- Wellendurchmesser bei Torsion
- Wellendurchmesser bei Biegung und Torsion
Verdrehung
- Verdrehung bei Torsionsbelastung
Berechnungsprogramme statisch bestimmter Träger
Durchbiegung und Neigung
- Durchbiegung und Neigung von abgesetzten Wellen bei Punktlast
Zulässige Verformungen
- Zulässige Durchbiegung und Verdrehung
- Wellendurchmesser bzw. Lagerabstand bei zul. Durchbiegung
Nabenabmessung
- Richtwerte für Wellen-Nabenverbindungen
Kerbform- und Kerbwirkungszahlen
- Kerbformzahlen Flachstab
- Kerbformzahlen Rundstab
- Kerbwirkungszahl
Einflussfaktoren
- Einflussfaktor: technologischer K1 - geometrischer K2
- Einflussfaktor für Oberflächenrauigkeit Kf
- Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung Kv
- Gesamt-Einflussfaktor
Gestaltfestigkeit
- Beanspruchungs- und Spannungsarten
- Vergleichsspannung bei mehrachsiger Beanspruchung
- Gestalt-Dauerfestigkeit gekerbter Stab - einachsige Beanspruchung
- Mittelspannungsempfindlichkeit
- Spannungsamplitude der Bauteilfestigkeit
- Sicherheit gegen Ermüdungsbruch
Kritische Drehzahl
- Biegeeigenfrequenz
Wellendurchmesser
Achsendurchmesser bei Biegebelastung
Allgemeine Biegespannungs-Formel
Achsen-Außendurchmesser einer Vollwelle bei Biegung
Achsen-Außendurchmesser einer Hohlwelle bei Biegung
Widerstandsmoment einer Hohlachse bei Biegung
Achsen-Innendurchmesser einer Hohlachse bei Biegung
Achsen-Außendurchmesser einer Vollwelle bei Biegung
Achsen-Außendurchmesser einer Hohlwelle bei Biegung
Widerstandsmoment einer Hohlachse bei Biegung
Achsen-Innendurchmesser einer Hohlachse bei Biegung
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Widerstandsmoment bei Biegung (mm³)
da = Achsen-Außendurchmesser (mm)
di = Achsen-Innendurchmesser (mm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Widerstandsmoment bei Biegung (mm³)
da = Achsen-Außendurchmesser (mm)
di = Achsen-Innendurchmesser (mm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Widerstandsmoment bei Biegung (mm³)
da = Achsen-Außendurchmesser (mm)
di = Achsen-Innendurchmesser (mm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Widerstandsmoment bei Biegung (mm³)
da = Achsen-Außendurchmesser (mm)
di = Achsen-Innendurchmesser (mm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Achsen mit gleicher Festigkeit - Angeformte Achsen
Große und schwere Achsen werden aus Gewichtsgründen häufig als Träger mit gleicher Festigkeit ausgebildet.
Der oben ermittelte Durchmesser, bei Biegebelastung, ist nur an der Stelle mit dem höchsten Biegemoment erforderlich.
An allen anderen Querschnittsstellen kann der Durchmesser entsprechend dem auftretenden Biegemomentes kleiner sein.
Somit ergibt sich ein Rotationskörper, der durch eine kubische Parabel begrenzt ist. Die Achse wird durch zylindrische oder kegelige Abstufungen ausgebildet.
Achsendurchmesser bei gegebenem Biegemoment
Achsendurchmesser bei gegebener Auflagerkraft
Achsendurchmesser bei gegebener Auflagerkraft
da,x = Achsen-Außendurchmesser (mm)
Mb,x = Biegemoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
Fa = Auflagerkraft (N)
x = Abstand von der Lagerkraft
Mb,x = Biegemoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
Fa = Auflagerkraft (N)
x = Abstand von der Lagerkraft
da,x = Achsen-Außendurchmesser (mm)
Mb,x = Biegemoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
Fa = Auflagerkraft (N)
x = Abstand von der Lagerkraft
Mb,x = Biegemoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
Fa = Auflagerkraft (N)
x = Abstand von der Lagerkraft
Wellendurchmesser bei Torsionsbelastung
Allgemeine Torsionsspannungs-Formel
Wellen-Außendurchmesser einer Vollwelle bei Torsion
Wellen-Außendurchmesser einer Hohlwelle bei Torsion
Widerstandsmoment einer Hohlwelle bei Torsion
Widerstandsmoment einer Welle bei Torsion mit Passfedernut
Wellen-Innendurchmesser einer Hohlwelle bei Torsion
Wellen-Außendurchmesser einer Vollwelle bei Torsion
Wellen-Außendurchmesser einer Hohlwelle bei Torsion
Widerstandsmoment einer Hohlwelle bei Torsion
Widerstandsmoment einer Welle bei Torsion mit Passfedernut
Wellen-Innendurchmesser einer Hohlwelle bei Torsion
τb = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Widerstandsmoment bei Torsion (mm³)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
τt,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
W t = polares Widerstandsmoment der Welle mit Passfedernut (mm3)
D i = Durchmesser ohne Passfedernut (mm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Widerstandsmoment bei Torsion (mm³)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
τt,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
W t = polares Widerstandsmoment der Welle mit Passfedernut (mm3)
D i = Durchmesser ohne Passfedernut (mm)
τb = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Widerstandsmoment bei Torsion (mm³)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
τb,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
W t = polares Widerstandsmoment der Welle mit Passfedernut (mm3)
D i = Durchmesser ohne Passfedernut (mm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Widerstandsmoment bei Torsion (mm³)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
τb,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
W t = polares Widerstandsmoment der Welle mit Passfedernut (mm3)
D i = Durchmesser ohne Passfedernut (mm)
Wellendurchmesser bei Biege- und Torsionsbelastung
Vergleichsmoment aus Biege- und Torsionsmoment
Wellen-Außendurchmesser bei Vollwellen
Wellen-Außendurchmesser bei Hohlwellen
Wellen-Innendurchmesser bei Hohlwellen
Wellen-Außendurchmesser bei Vollwellen
Wellen-Außendurchmesser bei Hohlwellen
Wellen-Innendurchmesser bei Hohlwellen
Mv = Vergleichsmoment aus Biege- und Torsionsmoment (Nmm)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
τb,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
φ = Faktor für Festigkeitshyphothese
NH = 1 - SH = 2 - GEH = 1,73
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
τb,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
φ = Faktor für Festigkeitshyphothese
NH = 1 - SH = 2 - GEH = 1,73
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Mv = Vergleichsmoment aus Biege- und Torsionsmoment (Nmm)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
τb,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
φ = Faktor für Festigkeitshyphothese
NH = 1 - SH = 2 - GEH = 1,73
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
σb,zul = zulässige Biegespannung (N/mm²)
τb,zul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
φ = Faktor für Festigkeitshyphothese
NH = 1 - SH = 2 - GEH = 1,73
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
di = Wellen-Innendurchmesser (mm)
k = Durchmesser-Verhältnis (-)
Verdrehung
Verdrehung bei Torsionsbelastung
Verdrehwinkel einer glatten Welle
Verdrehwinkel bei abgesetzten Wellen
Bogenlänge
Scherwinkel
Wellen-Außendurchmesser wenn φ = 0,25° je m Wellenlänge
Wellen-Außendurchmesser bei maximaler Verdrehung
Verdrehwinkel bei abgesetzten Wellen
Bogenlänge
Scherwinkel
Wellen-Außendurchmesser wenn φ = 0,25° je m Wellenlänge
Wellen-Außendurchmesser bei maximaler Verdrehung
φ = Verdrehwinkel (°)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
G = Schubmodul (N/mm²)
b = Bogenlänge (mm)
γ = Scherwinkel (°)
Wp = polares Widerstandsmoment (mm3)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
r = da / 2 = Wellenradius (mm)
L = Wellenlänge (mm)
It = polares Flächenträgheitsmoment (mm4)
kA = Anwendungsfaktor (-)
P = Nennleistung der Welle (W)
n = Wellendrehzahl (U/min)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
G = Schubmodul (N/mm²)
b = Bogenlänge (mm)
γ = Scherwinkel (°)
Wp = polares Widerstandsmoment (mm3)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
r = da / 2 = Wellenradius (mm)
L = Wellenlänge (mm)
It = polares Flächenträgheitsmoment (mm4)
kA = Anwendungsfaktor (-)
P = Nennleistung der Welle (W)
n = Wellendrehzahl (U/min)
φ = Verdrehwinkel (°)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
G = Schubmodul (N/mm²)
b = Bogenlänge (mm)
γ = Scherwinkel (°)
Wp = polares Widerstandsmoment (mm3)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
r = da / 2 = Wellenradius (mm)
L = Wellenlänge (mm)
It = polares Flächenträgheitsmoment (mm4)
kA = Anwendungsfaktor (-)
P = Nennleistung der Welle (W)
n = Wellendrehzahl (U/min)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
G = Schubmodul (N/mm²)
b = Bogenlänge (mm)
γ = Scherwinkel (°)
Wp = polares Widerstandsmoment (mm3)
da = Wellen-Außendurchmesser (mm)
r = da / 2 = Wellenradius (mm)
L = Wellenlänge (mm)
It = polares Flächenträgheitsmoment (mm4)
kA = Anwendungsfaktor (-)
P = Nennleistung der Welle (W)
n = Wellendrehzahl (U/min)
Berechnung statisch bestimmter Träger bei verschiedenen Einspannverhältnissen
Mit den Berechnungsprogrammen können statisch bestimmte Träger mit konstantem Querschnitt berechnet werden.
Die Auflagerkräfte, Biegemomente und die Durchbiegung werden ermittelt.
nach oben
Durchbiegung und Neigung
Durchbiegung und Neigung von abgesetzten Wellen bei Punktlast
Die Näherungsberechnung für die Durchbiegung und Neigung einer zweifach gelagerten abgesetzten Welle, ist gültig für eine symmetrische Geometrie.
Im Angriffspunkt der Kraft F denkt man sich die Welle als fest eingespannt. Die durch die jeweilige Lagerkraft
FA und FB hervorgerufene Durchbiegung, für einen Freiträger, wird für die Lagerstelle A und B getrennt berechnet,
danach kann die max. Durchbiegung errechnet werden.
Durchbiegung
Durchbiegung durch Lagerkraft FA
Durchbiegung durch Lagerkraft FB
Maximale Durchbiegung
Neigung
Neigung bei Lagerkraft FA
Neigung bei Lagerkraft FB
f A = Durchbiegung durch FA
FA = Lagerkraft auf Seite A (N)
f B = Durchbiegung durch FB
FB = Lagerkraft auf Seite B (N)
E = E-Modul (N/mm²)
an = Abstand von FA bis Ende Wellenabschnitt (mm)
da,n = Wellendurchmesser (mm)
bn = Abstand von FB bis Ende Wellenabschnitt (mm)
db,n = Wellendurchmesser (mm)
a = Abstand von FA bis Kraft F (mm)
b = Abstand von FB bis Kraft F (mm)
α = Neigung bei Lagerkraft FA - tan α
β = Neigung bei Lagerkraft FB - tan β
FA = Lagerkraft auf Seite A (N)
f B = Durchbiegung durch FB
FB = Lagerkraft auf Seite B (N)
E = E-Modul (N/mm²)
an = Abstand von FA bis Ende Wellenabschnitt (mm)
da,n = Wellendurchmesser (mm)
bn = Abstand von FB bis Ende Wellenabschnitt (mm)
db,n = Wellendurchmesser (mm)
a = Abstand von FA bis Kraft F (mm)
b = Abstand von FB bis Kraft F (mm)
α = Neigung bei Lagerkraft FA - tan α
β = Neigung bei Lagerkraft FB - tan β
f A = Durchbiegung durch FA
FA = Lagerkraft auf Seite A (N)
f B = Durchbiegung durch FB
FB = Lagerkraft auf Seite B (N)
E = E-Modul (N/mm²)
an = Abstand von FA bis Ende Wellenabschnitt (mm)
da,n = Wellendurchmesser (mm)
bn = Abstand von FB bis Ende Wellenabschnitt (mm)
db,n = Wellendurchmesser (mm)
a = Abstand von FA bis Kraft F (mm)
b = Abstand von FB bis Kraft F (mm)
α = Neigung bei Lagerkraft FA - tan α
β = Neigung bei Lagerkraft FB - tan β
FA = Lagerkraft auf Seite A (N)
f B = Durchbiegung durch FB
FB = Lagerkraft auf Seite B (N)
E = E-Modul (N/mm²)
an = Abstand von FA bis Ende Wellenabschnitt (mm)
da,n = Wellendurchmesser (mm)
bn = Abstand von FB bis Ende Wellenabschnitt (mm)
db,n = Wellendurchmesser (mm)
a = Abstand von FA bis Kraft F (mm)
b = Abstand von FB bis Kraft F (mm)
α = Neigung bei Lagerkraft FA - tan α
β = Neigung bei Lagerkraft FB - tan β
Zulässige Verformungen
Zulässige Durchbiegung und Verdrehung für Wellen und Achsen
| max. Durchbiegung | |
| Wellen und Achsen allgemein, f max bezogen auf Stützlänge (Biegung) | f max ≈ 0,33 mm/m |
| Wellen und Achsen im Maschinenbau | f max ≈ 0,3 mm/m |
| Wellen und Achsen im Werkzeugmaschinenbau | f max ≈ 0,2 mm/m |
| Wellen und Achsen im Landmaschinenbau | f max ≈ 0,5 mm/m |
| Wellen von Elektromotoren - xl=Luftspalt | f max ≈ 0,2...0,3 *xL |
| Wellen mit Zahnrad an Eingriffsstelle - m=Normalmodul | f max ≈ 0,005*m |
| Schneckenwelle an Eingriffsstelle - dm=Mittelkreisdurchmesser | f max ≈ 0,001*dm |
| max. Neigung | |
| Gleitlager einstellbar | tan β max ≈ 10*10-4 |
| Gleitlager einstellbar | tan β max ≈ 10*10-4 |
| Gleitlager nicht einstellbar | tan β max ≈ 3*10-4 |
| Wälzlager, Radial-Rillenkugellager | tan β max ≈ 10*10-4 |
| Wälzlager, Radial-Zylinderrollenlager | tan β max ≈ 2*10-4 |
| Wellen mit ungehärtetem Zahnrad an Eingriffsstelle | tan β max ≈ 1*10-4 |
| Wellen mit gehärtetem Zahnrad an Eingriffsstelle | tan β max ≈ 1*10-4 |
| Industriegetriebe schwere Anwendung - Modul = 5 oder Zahnbreite = 50 mm | tan β max ≈ 4*10-4 |
| Industriegetriebe schwere Anwendung - Modul > 5 oder Zahnbreite > 50 mm | tan β max ≈ 1,5*10-4 |
| max. Verdrehung | |
| Wellen allgemein, φ max bezogen auf Verdrehlänge (Torsion) | φ max ≈ 0,25°/m |
| Lagerabstand | |
| Lagerabstand bei gegebenem Wellendurchmesser | L = 300...400 * d 0,5 |
nach oben
Wellendurchmesser bzw. Lagerabstand bei zul. Durchbiegung
Der erforderliche Wellendurchmesser bzw. Lagerabstand kann berechnet werden unter der Annahme,
einer frei aufliegenden Welle mit einer Punktlast in der Mitte der Welle und durchgehendem gleichen Durchmesser.
Erforderlicher Wellendurchmesser bei E-Modul 210000 N/mm²
Erforderlicher Lagerabstand bei E-Modul 210000 N/mm²
Erforderlicher Wellendurchmesser
Erforderlicher Wellendurchmesser bei E-Modul 210000 N/mm²
Erforderlicher Lagerabstand
Erforderlicher Lagerabstand bei E-Modul 210000 N/mm²
d = Wellendurchmesser (mm)
F = Belastung in der Mitte der Welle (N)
l = Lagerabstand (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
fzul = zul. Wellendurchbiegung (mm/m) - siehe Tabelle oben
F = Belastung in der Mitte der Welle (N)
l = Lagerabstand (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
fzul = zul. Wellendurchbiegung (mm/m) - siehe Tabelle oben
d = Wellendurchmesser (mm)
F = Belastung in der Mitte der Welle (N)
l = Lagerabstand (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
fzul = zul. Wellendurchbiegung (mm/m) - siehe Tabelle oben
F = Belastung in der Mitte der Welle (N)
l = Lagerabstand (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
fzul = zul. Wellendurchbiegung (mm/m) - siehe Tabelle oben
Nabenabmessungen
Richtwerte für Wellen-Nabenverbindungen
d = Wellendurchmesser
| Verbindungsart | Nabenaußendurchmesser | Nabenlänge | ||
| Grauguss | Stahl, GS | Grauguss | Stahl, GS | |
| Passfederverbindung | 2,0...2,2 * d | 1,8...2,0 * d | 1,6...2,1 * d | 1,1...1,4 * d |
| Keilwelle, Zahnwelle | 1,8...2,0 * d | 1,8...2,0 * d | 1,0...1,3 * d | 0,6...0,9 * d |
| Längsbewegliche Nabe | 1,8...2,0 * d | 1,6...1,8 * d | 2,0...2,2 * d | 1,8...2,0 * d |
| Polygonverbindung | 1,6...1,8 * d | 1,3...1,6 * d | 1,8...2,0 * d | 1,6...1,8 * d |
| Pressverband | 2,2...2,6 * d | 2,0...2,5 * d | 1,2...1,5 * d | 0,8...1,0 * d |
| Spann-, Klemm-, Keilverbindung | 2,0...2,2 * d | 1,8...2,0 * d | 1,6...2,0 * d | 1,2...1,5 * d |
nach oben
Kerbformzahl - Kerbwirkungszahl
Berechnung Kerbformzahl Flachstab
Berechnungsprogramm zur Berechnung der Kerbformzahl für einen Flachstab, mit verschiedene Geometrien und Belastungsarten.
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Berechnung Kerbformzahl Rundstab
Berechnungsprogramm zur Berechnung der Kerbformzahl für einen Rundstab, mit verschiedene Geometrien und Belastungsarten.
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Kerbwirkungszahl
Zur Auslegung dynamisch beanspruchter Bauteile wird die Kerbwirkungszahl βk als Verhältnis der
Dauerfestigkeit σD eines glatten, polierten Stabes zur Dauerfestigkeit σDk der glatten gekerbten
Probe herangezogen. Die Kerbwirkungszahl βk ist abhängig von der Beanspruchungsart, der Kerbform sowie
vom Werkstoff und wird experimentell ermittelt.
Kerbwirkungszahlen
| Kerbform | Biegung βkb |
Torsion βkt | |
| Rundstab mit Rundkerbe |  |
Berechnung | |
| Rundstab mit Wellenabsatz |  |
Berechnung | |
| Nut für Sicherungsring |  |
Berechnung | |
| Nabensitz mit Passfeder |  |
Berechnung | |
| Nabensitz ohne Passfeder |  |
Berechnung | |
| Querbohrung |  |
1,7...2,0 d/D=0,14 |
1,7...2.0 d/d=0,14 |
| Passfedernut |  |
1,8...2,5 | 1,3...2,2 |
| Auslaufnut |  |
1,3...1,5 | 1,3...2,2 |
| Keilwelle parallele Flanken | 1,4...2,3 | 1,9...3,1 | |
| Kerbzahnwellen | 1,6...2,6 | 1,9...3,1 | |
| Kegelspannringe | 1,6 | 1,4 | |
nach oben
Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit
Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit
Bei der Berechnung der Dauerfestigkeit eines Bauteils sind verschiedene Einflussfaktoren zu berücksichtigen:
- Technologischer Größeneinflussfaktor K1
Der Faktor K1 berücksichtigt, dass die erreichbare Härte beim Vergüten bzw. Einsatzhärten mit steigendem Durchmesser abnimmt.
- Geometrischer Größeneinflussfaktor K2
Der geometrische Größeneinflussfaktor K2 berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser oder
Dicken die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit übergeht und analog auch die Torsionswechselfestigkeit sinkt.
Einflussfaktor Oberflächenrauigkeit
Der Einflussfaktor Kf der Oberflächenrauheit, berücksichtigt den zusätzlichen Einfluss der Rauheit auf die örtlichen Spannungen und damit auf die Dauerfestigkeit des Bauteils.
Zug-Druck und Biegung
Torsion
Torsion
Kfσ = Zug-Druck Oberflächenrauigkeitsfaktor (-)
Kfτ = Torsion Oberflächenrauigkeitsfaktor (-)
σb(deff) = Zugfestigkeit (N/mm²)
Rz = mittl. Rauigkeit (μm)
bei Walzhaut Rz=200 μm
σB(dB) = Zugfestigkeit Bezugsdurchmesser (N/mm²)
K1 (deff) = Technologischer Einflussfaktor (-)
Kfτ = Torsion Oberflächenrauigkeitsfaktor (-)
σb(deff) = Zugfestigkeit (N/mm²)
Rz = mittl. Rauigkeit (μm)
bei Walzhaut Rz=200 μm
σB(dB) = Zugfestigkeit Bezugsdurchmesser (N/mm²)
K1 (deff) = Technologischer Einflussfaktor (-)
Kfσ = Zug-Druck Oberflächenrauigkeitsfaktor (-)
Kfτ = Torsion Oberflächenrauigkeitsfaktor (-)
σb(deff) = Zugfestigkeit (N/mm²)
Rz = mittl. Rauigkeit (μm)
bei Walzhaut Rz=200 μm
σB(dB) = Zugfestigkeit Bezugsdurchmesser (N/mm²)
K1 (deff) = Technologischer Einflussfaktor (-)
Kfτ = Torsion Oberflächenrauigkeitsfaktor (-)
σb(deff) = Zugfestigkeit (N/mm²)
Rz = mittl. Rauigkeit (μm)
bei Walzhaut Rz=200 μm
σB(dB) = Zugfestigkeit Bezugsdurchmesser (N/mm²)
K1 (deff) = Technologischer Einflussfaktor (-)
Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung Kv
Der Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung Kv berücksichtigt den Einfluss (Eigenspannung, Härte) des
veränderten Oberflächenzustandes durch das jeweilige technologische Verfahren auf die Dauerfestigkeit.
Bei Durchmesser größer 40 mm ist Kv = 1.
| Oberflächenverfestigung | Durchmesser | Kv Faktor |
| Nitrieren | 8...25 | 1,15...1,25 |
| 25...40 | 1,10...1,15 | |
| Einsatzhärten | 8...25 | 1,20...2,10 |
| 25...40 | 1,10...1,50 | |
| Karbonitrierhärten | 8...25 | 1,10...1,90 |
| 25...40 | 1,00...1,40 | |
| Rollen | 7...25 | 1,20...1,40 |
| 25...40 | 1,10...1,25 | |
| Kugelstrahlen | 7...25 | 1,10...1,30 |
| 25...40 | 1,10...1,20 | |
| Induktivhärten Flammhärten |
7...25 | 1,20...1,60 |
| 25...40 | 1,10...1,40 |
Gesamt-Einflussfaktor
Gesamteinflussfaktor
Zug-Druck und Biegung
Torsion
Zug-Druck und Biegung
Torsion
Kσ = Gesamteinflussfaktor σ (-)
Kτ = Gesamteinflussfaktor τ (-)
βσ = Kerbwirkungszahl σ (-)
βτ = Kerbwirkungszahl τ (-)
K2 = Geometrischer Einflussfaktor (-)
Kf,σ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit σ (-)
Kf,τ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit τ (-)
Kv = Einflussfaktor Oberflächenverfestigung (-)
Kτ = Gesamteinflussfaktor τ (-)
βσ = Kerbwirkungszahl σ (-)
βτ = Kerbwirkungszahl τ (-)
K2 = Geometrischer Einflussfaktor (-)
Kf,σ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit σ (-)
Kf,τ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit τ (-)
Kv = Einflussfaktor Oberflächenverfestigung (-)
Kσ = Gesamteinflussfaktor σ (-)
Kτ = Gesamteinflussfaktor τ (-)
βσ = Kerbwirkungszahl σ (-)
βτ = Kerbwirkungszahl τ (-)
K2 = Geometrischer Einflussfaktor (-)
Kf,σ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit σ (-)
Kf,τ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit τ (-)
Kv = Einflussfaktor Oberflächenverfestigung (-)
Kτ = Gesamteinflussfaktor τ (-)
βσ = Kerbwirkungszahl σ (-)
βτ = Kerbwirkungszahl τ (-)
K2 = Geometrischer Einflussfaktor (-)
Kf,σ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit σ (-)
Kf,τ = Einflussfaktor Oberflächenrauheit τ (-)
Kv = Einflussfaktor Oberflächenverfestigung (-)
Gestaltfestigkeit
Belastungs- und Spannungsarten
Normalspannung (Zug-Druck)
Biegespannung
Torsionssapnnung
Dynamische Spannungswerte
Spannungsamplitude
Mittelspannung
Biegespannung
Torsionssapnnung
Dynamische Spannungswerte
Spannungsamplitude
Mittelspannung
σN = Normalspannung (N/mm²) - Zug/Druck
FN = Normalkraft (N)
A = Querschnittsfläche (mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
σa = Spannungsamplitude (N/mm²)
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²)
σu = Unterspannung (N/mm²)
FN = Normalkraft (N)
A = Querschnittsfläche (mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
σa = Spannungsamplitude (N/mm²)
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²)
σu = Unterspannung (N/mm²)
σN = Normalspannung (N/mm²) - Zug/Druck
FN = Normalkraft (N)
A = Querschnittsfläche (mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
σa = Spannungsamplitude (N/mm²)
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²)
σu = Unterspannung (N/mm²)
FN = Normalkraft (N)
A = Querschnittsfläche (mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
σa = Spannungsamplitude (N/mm²)
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²)
σu = Unterspannung (N/mm²)
nach oben
Vergleichs-Mittelspannung bei mehrachsiger Beanspruchung
Vergleichs-Mittelspannungen
σmv = Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion-Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzdm = Zug-Druck-Mittelspannung (N/mm²)
σbdm = Biege-Mittelspannung (N/mm²)
τm = Torsion-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion-Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzdm = Zug-Druck-Mittelspannung (N/mm²)
σbdm = Biege-Mittelspannung (N/mm²)
τm = Torsion-Mittelspannung (N/mm²)
σmv = Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion-Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzdm = Zug-Druck-Mittelspannung (N/mm²)
σbdm = Biege-Mittelspannung (N/mm²)
τm = Torsion-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion-Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzdm = Zug-Druck-Mittelspannung (N/mm²)
σbdm = Biege-Mittelspannung (N/mm²)
τm = Torsion-Mittelspannung (N/mm²)
Gestalt-Dauerfestigkeit gekerbter Stab - einachsige Beanspruchung
Die Bauteilfestigkeit des gekerbten Stabs, unter Berücksichtigung der o. g. Einflussfaktoren, berechnet sich nach folgenden Formeln:
Zug-Druck-Wechselfestigkeit
Biege-Wechselfestigkeit
Torsions-Wechselfestigkeit
Biege-Wechselfestigkeit
Torsions-Wechselfestigkeit
σzd,WK = Zug-Druck Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
σb,WK = Biege-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
ττ,WK = Torsions-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
σzd,W(db) = Zug-Druck-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
σb,W(db) = Biege-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
ττ,W(db) = Torsion-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
K1 = Technologischer Einflussfaktor (-)
σb,WK = Biege-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
ττ,WK = Torsions-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
σzd,W(db) = Zug-Druck-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
σb,W(db) = Biege-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
ττ,W(db) = Torsion-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
K1 = Technologischer Einflussfaktor (-)
σzd,WK = Zug-Druck Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
σb,WK = Biege-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
ττ,WK = Torsions-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
σzd,W(db) = Zug-Druck-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
σb,W(db) = Biege-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
ττ,W(db) = Torsion-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
K1 = Technologischer Einflussfaktor (-)
σb,WK = Biege-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
ττ,WK = Torsions-Wechselfestigkeit gekerbter Stab (N/mm²)
σzd,W(db) = Zug-Druck-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
σb,W(db) = Biege-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
ττ,W(db) = Torsion-Wechselfestigkeit glatter Probestab mit Bezugsdurchmesser dB (N/mm²) - Wert aus Festigkeitstabelle
K1 = Technologischer Einflussfaktor (-)
nach oben
Mittelspannungsempfindlichkeit
Zug-Druck
Biegung
Torsion
Biegung
Torsion
ψzdσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Zug-Druck (-)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biegung Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σB(deff) = Zugfestigkeit bezogen auf deff (N/mm²)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biegung Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σB(deff) = Zugfestigkeit bezogen auf deff (N/mm²)
ψzdσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Zug-Druck (-)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biegung Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σB(deff) = Zugfestigkeit bezogen auf deff (N/mm²)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biegung Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σB(deff) = Zugfestigkeit bezogen auf deff (N/mm²)
Spannungsamplitude der Bauteilfestigkeit
Wenn σmv bzw. τmv konstant
Zug-Druck
Biegung
Torsion
Wenn σmv/σzd,ba bzw. τmv/ττa konstant
Zug-Druck
Biegung
Torsion
Zug-Druck
Biegung
Torsion
Wenn σmv/σzd,ba bzw. τmv/ττa konstant
Zug-Druck
Biegung
Torsion
σzdADK = Zug-Druck Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biege Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ψzdσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Zug-Druck (-)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σmv = Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzda = Zug-Druck Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biege Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ψzdσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Zug-Druck (-)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σmv = Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzda = Zug-Druck Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σzdADK = Zug-Druck Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biege Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ψzdσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Zug-Druck (-)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σmv = Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzda = Zug-Druck Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σzdWK = Zug-Druck Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
σbWK = Biege Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ττWK = Torsion Bauteilwechselfestigkeit (N/mm²)
ψzdσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Zug-Druck (-)
ψbσK = Mittelspannungsempfindlichkeit Biegung (-)
ψτK = Mittelspannungsempfindlichkeit Torsion (-)
σmv = Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
τmv = Torsion Vergleichs-Mittelspannung (N/mm²)
σzda = Zug-Druck Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung aus der Beanspruchung (N/mm²)
Sicherheit gegen Ermüdungsbruch
Ausschlagspannung aus der Beanspruchung
Sicherheit
- nur Biegung
- nur Torsion
Sicherheit
- nur Biegung
- nur Torsion
σa = Ausschlagspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²) - max. Spannung
σu = Unterspannung (N/mm²) - min. Spannung
σzda = Zug-Druck-Ausschlagspannung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung (N/mm²)
σzdADK = Zug-Druck Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
S = Sicherheit gegen Ermüdungsbruch (-)
σo = Oberspannung (N/mm²) - max. Spannung
σu = Unterspannung (N/mm²) - min. Spannung
σzda = Zug-Druck-Ausschlagspannung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung (N/mm²)
σzdADK = Zug-Druck Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
S = Sicherheit gegen Ermüdungsbruch (-)
σa = Ausschlagspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²) - max. Spannung
σu = Unterspannung (N/mm²) - min. Spannung
σzda = Zug-Druck-Ausschlagspannung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung (N/mm²)
σzdADK = Zug-Druck Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
S = Sicherheit gegen Ermüdungsbruch (-)
σo = Oberspannung (N/mm²) - max. Spannung
σu = Unterspannung (N/mm²) - min. Spannung
σzda = Zug-Druck-Ausschlagspannung (N/mm²)
σba = Biege-Ausschlagspannung (N/mm²)
ττa = Torsion-Ausschlagspannung (N/mm²)
σzdADK = Zug-Druck Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
σbADK = Biege Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
ττADK = Torsion Bauteilausschlagfestigkeit (N/mm²)
S = Sicherheit gegen Ermüdungsbruch (-)
Kritische Drehzahl
Biegeeigenfrequenz [1]
Die auf die Welle wirkenden zusätzlichen Belastungen (Zahnkräfte, Querkräfte usw.) sind bei der Biegesteifigkeit der Welle nicht zu berücksichtigen.
Biegeeigenfrequenz einer massenlosen Welle mit Einzelmasse
Kritische Winkelgeschwindigkeit
Kritische Eigenfrequenz
Kritische Drehzahl
Biegesteifigkeit durch Einzelmasse
Kritische Winkelgeschwindigkeit
Kritische Eigenfrequenz
Kritische Drehzahl
Biegesteifigkeit durch Einzelmasse
ω = Winkelgeschwindigkeit (rad/s)
C = Biegesteifigkeit der Welle (N/m)
m = Einzelmasse (Scheibe) (kg)
fk = Kritische Eigenfrequenz (Hz)
FG = Gewichtskraft der Einzelmasse (N)
fG = Durchbiegung der Welle durch die Einzelmasse (m)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s²)
nk = Kritische Drehzahl (1/min)
E = E-Modul (N/mm²)
I = Biege-Trägheitsmoment (mm4)
L = Lagerabstand (mm)
a = Abstand Masse zum Lager (mm)
b = Abstand Masse zum Lager (mm)
C = Biegesteifigkeit der Welle (N/m)
m = Einzelmasse (Scheibe) (kg)
fk = Kritische Eigenfrequenz (Hz)
FG = Gewichtskraft der Einzelmasse (N)
fG = Durchbiegung der Welle durch die Einzelmasse (m)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s²)
nk = Kritische Drehzahl (1/min)
E = E-Modul (N/mm²)
I = Biege-Trägheitsmoment (mm4)
L = Lagerabstand (mm)
a = Abstand Masse zum Lager (mm)
b = Abstand Masse zum Lager (mm)
ω = Winkelgeschwindigkeit (rad/s)
C = Biegesteifigkeit der Welle (N/m)
m = Einzelmasse (Scheibe) (kg)
fk = Kritische Eigenfrequenz (Hz)
FG = Gewichtskraft der Einzelmasse (N)
fG = Durchbiegung der Welle durch die Einzelmasse (m)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s²)
nk = Kritische Drehzahl (1/min)
E = E-Modul (N/mm²)
I = Biege-Trägheitsmoment (mm4)
L = Lagerabstand (mm)
a = Abstand Masse zum Lager (mm)
b = Abstand Masse zum Lager (mm)
C = Biegesteifigkeit der Welle (N/m)
m = Einzelmasse (Scheibe) (kg)
fk = Kritische Eigenfrequenz (Hz)
FG = Gewichtskraft der Einzelmasse (N)
fG = Durchbiegung der Welle durch die Einzelmasse (m)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s²)
nk = Kritische Drehzahl (1/min)
E = E-Modul (N/mm²)
I = Biege-Trägheitsmoment (mm4)
L = Lagerabstand (mm)
a = Abstand Masse zum Lager (mm)
b = Abstand Masse zum Lager (mm)
[1] Haberhauer, Horst: Maschinenelemente - Gestaltung, Berechnung, Anwendung
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