Ausfluss Strömung aus Behälter

Ausflussgesetz nach Toricelli

Die Ausflussgeschwindigkeit aus einem offenen Gefäß mit konstant bleibendem Flüssigkeitsspiegel kann die Bernoulli Gleichung angesetzt werden. Der Druck p₁ und p₂ sind gleich groß, da es sich um den Luftdruck handelt. Das Querschnittsverhältnis von Behälter- zu Austrittsquerschnitt soll wesentlich größer sein, so dass die Behältergeschwindigkeit vernachlässig werden kann. Unter dieser Bedingung vereinfacht sich die Bernoulligleichung zu folgender Formel der sogenannten Toricelli Formel.

Toricelli Formel

w₁ = Geschwindigkeit im Behälter (m/s)
w₂ = Geschwindigkeit im Ausflussrohr (m/s)
w_a = Austritts-Geschwindigkeit (m/s)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Füllhöhe (m)

w₁ = Geschwindigkeit im Behälter (m/s)
w₂ = Geschwindigkeit im Ausflussrohr (m/s)
w_a = Austritts-Geschwindigkeit (m/s)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Füllhöhe (m)

Geschwindigkeitsbeiwert φ und Kontraktionszahl α

Bei der Toricelli Formel ist die Reibung nicht berücksichtigt. Diese wird mit dem Geschwindigkeitsbeiwert φ berücksichtigt, welche von der Form der Ausflussöffnung abhängt. Infolge der starken Umlenkung an der Ausflussöffnung ist der wirkliche Volumenstrom kleiner. Diese Einschnürung wird durch die Kontraktionszahl ausgedrückt.

α = Kontraktionszahl (-)
A_e = Eingeschnürter Querschnitt (m²)
A_a = Austritts Querschnitt (m²)
μ = Ausflusszahl (-)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)

α = Kontraktionszahl (-)
A_e = Eingeschnürter Querschnitt (m²)
A_a = Austritts Querschnitt (m²)
μ = Ausflusszahl (-)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)

Geschwindigkeitsbeiwert - Kontraktionszahl - Ausflusszahl verschiedener Ausflussöffnungen

Form Ausflussöffnung	Geschwindigkeitsbeiwert φ	Kontraktionszahl α	Ausflusszahl μ
scharfkantig	0,97	0,61...0,64	0,59...0,62
abgerundete Düse	0,97...0,99	≈ 1,0	0,97...0,99
zylindrisches Ansatzrohr L/d = 2...3	≈ 0,82	≈ 1,0	≈ 0,82
konisches Ansatzrohr L/da ≈ 3		β 10° 20° 45° 90° μ 0,95 0,94 0,88 0,74
	0,97 kleines L 0,95 großes L	da2/de2 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 α 0,83 0,84 0,87 0,90 0,94 1,0
Ausflusszahl bei großen Öffnungen
Grundblass			μ = 0,6...0,62
Seitenöffnung			scharfkantig μ = 0,62...0,64 abgerundet μ = 0,7...0,8
Bodenöffnung			b/B 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 μ 0,61 0,61 0,62 0,63 0,65 0,68

Tatsächliche Geschwindigkeit und Volumenstrom

Tatsächlicher Geschwindigkeit und Volumenstrom unter Berücksichtigung des Geschwindigkeitsbeiwert und der Ausflusszahl.

w_a = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A_a = Austritts Querschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Füllhöhe (m)

w_a = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A_a = Austritts Querschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Füllhöhe (m)

Geschlossene Behälter mit konstantem Überdruck

Geschlossener Behälter mit konstantem Überdruck mit kleiner Ausflussöffnung. Die Geschwindigkeit im Behälter wird nicht berücksichtigt.

w_a = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
p_ü = Überdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m³)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Füllhöhe (m)
V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A_a = Austritts Querschnitt (m²)
p_i = Druck im Behälter (Pa)
p_L = Luftdruck (Pa)

w_a = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
p_ü = Überdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m³)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Füllhöhe (m)
V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A_a = Austritts Querschnitt (m²)
p_i = Druck im Behälter (Pa)
p_L = Luftdruck (Pa)

Druckluftbehälter mit ausströmendem Gas

Bei M > 0,2 und hohen Druckdifferenzen

w_a = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
p_i = Druck im Behälter (Pa)
p_L = Luftdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m³)
Κ = Isotropenexponent (-)
M = Mach Zahl (-)

w_a = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
p_i = Druck im Behälter (Pa)
p_L = Luftdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m³)
Κ = Isotropenexponent (-)
M = Mach Zahl (-)

Ausfluss durch große Öffnung ins Freie unter dem Einfluss der Schwere

Volumenstrom bei einer großen Öffnung bei der die Veränderlichkeit des Druckes über der Öffnungshöhe berücksichtigt wird. Die Geschwindigkeit im Behälter wird nicht berücksichtigt.

V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
b = Breite der Öffnung (m)
z₁ = Abstand Flüssigkeitsspiegel bis zur oberen Öffnungskante (m)
z₂ = Abstand Flüssigkeitsspiegel bis zur unteren Öffnungskante (m)

V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
b = Breite der Öffnung (m)
z₁ = Abstand Flüssigkeitsspiegel bis zur oberen Öffnungskante (m)
z₂ = Abstand Flüssigkeitsspiegel bis zur unteren Öffnungskante (m)

Ausfluss unter Gegendruck

Die Druckdifferenz am Öffnungsquerschnitt unter Wasser hängt von der Spiegeldifferenz h der beiden Flüssigkeitsspiegel ab.

V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Spiegeldifferenz (m)
z₁ = höherer Flüssigkeitsspiegel (m)
z₁ = niedrigerer Flüssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)

V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Spiegeldifferenz (m)
z₁ = höherer Flüssigkeitsspiegel (m)
z₁ = niedrigerer Flüssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)

Ausflusszeit durch kleine Öffnung ins Freie unter dem Einfluss der Schwere

Die Ausflusszeit bezieht sich auf die vollständige Entleerung des Behälters.

Senkrechter Zylinder

Waagrechter Zylinder

Kugelbehälter

Kegelförmiger Zylinder

t_e = Ausflusszeit (s)
μ = Ausflusszahl (-)
z₁ = Flüssigkeitsspiegel (m)
A_B = Fläche Behälter (m²)
A_a = Fläche Ausflussquerschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
l = Behälterlänge (m)
d = Behälterdurchmesser (m)

Ausflusszeit bei veränderlicher Spiegelhöhe

Ausflusszeit in einen anderen Behälter bei veränderlichem Wasserspiegel.

t_a = Ausflusszeit (s)
V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Spiegeldifferenz (m)
z₁ = höherer Flüssigkeitsspiegel (m)
z₁ = niedrigerer Flüssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)

t_a = Ausflusszeit (s)
V = Volumenstrom (m³/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)
h = Spiegeldifferenz (m)
z₁ = höherer Flüssigkeitsspiegel (m)
z₁ = niedrigerer Flüssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)

Ausflusszeit bei Ober- oder Unterwasser

Die Formeln sind gültig, wenn ein kleines Gefäß von einem großen Gefäß gefüllt wird (Oberwasser), oder umgekehrt (Unterwasser), und dabei sich der Spiegel des großen Gefäßes sich nicht verändert. Die Höhe h bezieht sich auf t=0.

Ausgleich bei großem Oberwasser

Ausgleich bei großem Unterwasser

t_A = Ausflusszeit (s)
A₁ = Behälterquerschnitt (m²)
A₂ = Behälterquerschnitt (m²)
h = Spiegeldifferenz (m)
μ = Ausflusszahl (-)
A_a = Ausflussquerschnitt (m²)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s²)