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Update:  28.05.2020

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Einf√ľhrung in die Str√∂mungstechnik mit Beispielen.




Str√∂mungsmechanik f√ľr die inkompressible reibungsbehaftete und die kompressible Str√∂mung.


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Ausflussströmungen

Ausflussgesetz nach Toricelli

Die Ausflussgeschwindigkeit aus einem offenen Gef√§√ü mit konstant bleibendem Fl√ľssigkeitsspiegel kann die Bernoulli Gleichung angesetzt werden. Der Druck p1 und p2 sind gleich gro√ü, da es sich um den Luftdruck handelt. Das Querschnittsverh√§ltnis von Beh√§lter- zu Austrittsquerschnitt soll wesentlich gr√∂√üer sein, so dass die Beh√§ltergeschwindigkeit vernachl√§ssig werden kann. Unter dieser Bedingung vereinfacht sich die Bernoulligleichung zu folgender Formel der sogenannten Toricelli Formel.


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Toricelli Formel


Formel Bernoulli
Bild Bernoulli
w1 = Geschwindigkeit im Behälter (m/s)
w2 = Geschwindigkeit im Ausflussrohr (m/s)
wa = Austritts-Geschwindigkeit (m/s)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = F√ľllh√∂he (m)
w1 = Geschwindigkeit im Behälter (m/s)
w2 = Geschwindigkeit im Ausflussrohr (m/s)
wa = Austritts-Geschwindigkeit (m/s)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = F√ľllh√∂he (m)
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Geschwindigkeitsbeiwert φ und Kontrationszahl α

Bei der Toricelli Formel ist die Reibung nicht ber√ľcksichtigt. Diese wird mit dem Geschwindigkeitsbeiwert φ ber√ľcksichtigt, welche von der Form der Ausfluss√∂ffnung abh√§ngt. Infolge der starken Umlenkung an der Ausfluss√∂ffnung ist der wirkliche Volumenstrom kleiner. Diese Einschn√ľrung wird durch die Kontraktionszahl ausgedr√ľckt.


Formel Ausflusszahl
α = Kontraktionszahl (-)
Ae = Eingeschn√ľrter Querschnitt (m2)
Aa = Austritts Querschnitt (m2)
μ = Ausflusszahl (-)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
α = Kontraktionszahl (-)
Ae = Eingeschn√ľrter Querschnitt (m2)
Aa = Austritts Querschnitt (m2)
μ = Ausflusszahl (-)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
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Form Ausfluss√∂ffnungGeschwindigkeitsbeiwert φ Kontraktionszahl αAusflusszahl μ
Formel Ausflusszahl scharfkantig
scharfkantig
0,970,61...0,640,59...0,62
Formel Ausflusszahl abgerundet
abgerundete D√ľse
0,97...0,99≈ 1,00,97...0,99
Formel Ausflusszahl Zylinder
zylindrisches Ansatzrohr
L/d = 2...3
≈ 0,82≈ 1,0≈ 0,82
Formel Ausflusszahl konisch
konisches Ansatzrohr
L/da ≈ 3
β10¬į20¬į45¬į90¬į
μ0,950,940,880,74
Formel Ausflusszahl D√ľse 0,97 kleines L
0,95 großes L
da2/de20,10,20,4 0,60,81,0
α0,830,840,87 0,900,941,0

Ausflusszahl bei gro√üen √Ėffnungen

Bild Grundablass
Grundblass
μ = 0,6...0,62
Bild Seitenöffnung
Seitenöffnung
scharfkantig μ = 0,62...0,64
abgerundet μ = 0,7...0,8
Bild Bodenöffnung
Bodenöffnung
b/B00,10,2 0,30,40,5
μ0,610,610,62 0,630,650,68

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Tatsächliche Geschwindigkeit und Volumenstrom

Tats√§chlicher Geschwindigkeit und Volumenstrom unter Ber√ľcksichtigung des Geschwindigkeitsbeiwert und der Ausflusszahl.


Formel Geschwindigkeit
Formel Volumenstrom
wa = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
Aa = Austritts Querschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = F√ľllh√∂he (m)
wa = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
Aa = Austritts Querschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = F√ľllh√∂he (m)


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Geschlossene Behälter mit konstantem Überdruck

Geschlossener Beh√§lter mit konstantem √úberdruck mit kleiner Ausfluss√∂ffnung. Die Geschwindigkeit im Beh√§lter wird nicht ber√ľcksichtigt.


Formel Geschwindigkeit
Bild geschlossen √úberdruck
wa = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
p√ľ = √úberdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = F√ľllh√∂he (m)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
Aa = Austritts Querschnitt (m2)
pi = Druck im Behälter (Pa)
pL = Luftdruck (Pa)
wa = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
p√ľ = √úberdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = F√ľllh√∂he (m)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
Aa = Austritts Querschnitt (m2)
pi = Druck im Behälter (Pa)
pL = Luftdruck (Pa)
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Druckluftbehälter mit ausströmendem Gas


Formel Geschwindigkeit Luft

Bei M > 0,2 und hohen Druckdifferenzen

Formel Geschwindigkeit Luft
wa = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
pi = Druck im Behälter (Pa)
pL = Luftdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
Κ = Isotropenexponent (-)
M = Mach Zahl (-)
wa = Austrittsgeschwindigkeit (m/s)
φ = Geschwindigkeitsbeiwert (-)
pi = Druck im Behälter (Pa)
pL = Luftdruck (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
Κ = Isotropenexponent (-)
M = Mach Zahl (-)
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Ausfluss durch gro√üe √Ėffnung ins Freie unter dem Einfluss der Schwere

Volumenstrom bei einer gro√üen √Ėffnung bei der die Ver√§nderlichkeit des Druckes √ľber der √Ėffnungsh√∂he ber√ľcksichtigt wird. Die Geschwindigkeit im Beh√§lter wird nicht ber√ľcksichtigt.


Formel Volumenstrom
Bild Volumenstrom
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
b = Breite der √Ėffnung (m)
z1 = Abstand Fl√ľssigkeitsspiegel bis zur oberen √Ėffnungskante (m)
z2 = Abstand Fl√ľssigkeitsspiegel bis zur unteren √Ėffnungskante (m)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
b = Breite der √Ėffnung (m)
z1 = Abstand Fl√ľssigkeitsspiegel bis zur oberen √Ėffnungskante (m)
z2 = Abstand Fl√ľssigkeitsspiegel bis zur unteren √Ėffnungskante (m)
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Ausfluss unter Gegendruck

Die Druckdifferenz am √Ėffnungsquerschnitt unter Wasser h√§ngt von der Spiegeldifferenz h der beiden Fl√ľssigkeitsspiegel ab.


Formel Gegendruck
Bild Gegendruck
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = Spiegeldifferenz (m)
z1 = h√∂herer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
z1 = niedrigerer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = Spiegeldifferenz (m)
z1 = h√∂herer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
z1 = niedrigerer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)

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Ausflusszeit durch kleine √Ėffnung ins Freie unter dem Einfluss der Schwere

Die Ausflusszeit bezieht sich auf die vollständige Entleerung des Behälters.


Senkrechter Zylinder

Bild Ausflusszeit Zylinder
Formel Ausflusszeit Zylinder

Waagrechter Zylinder

Bild Ausflusszeit Zylinder
Formel Ausflusszeit Zylinder

Kugelbehälter

Bild Ausflusszeit Kugel
Formel Ausflusszeit Kugel

Kegelförmiger Zylinder

Bild Ausflusszeit Kegel
Formel Ausflusszeit Kegel
te = Ausflusszeit (s)
μ = Ausflusszahl (-)
z1 = Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
AB = Fläche Behälter (m2)
Aa = Fläche Ausflussquerschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
l = Behälterlnge (m)
d = Behälterdurchmesser (m)
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Ausflusszeit bei veränderlicher Spiegelhöhe


Formel Ausflusszeit veränderlich
Bild Ausflusszeit veränderlich
ta = Ausflusszeit (s)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = Spiegeldifferenz (m)
z1 = h√∂herer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
z1 = niedrigerer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)
ta = Ausflusszeit (s)
V = Volumenstrom (m3/s)
μ = Ausflusszahl (-)
A = Ausflussquerschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = Spiegeldifferenz (m)
z1 = h√∂herer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
z1 = niedrigerer Fl√ľssigkeitsspiegel (m)
Δp = Druckdifferenz (Pa)
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Ausflusszeit bei Ober- oder Unterwasser

Die Formeln sind g√ľltig, wenn ein kleines Gef√§√ü von einem gro√üen Gef√§√ü gef√ľllt wird (Oberwasser), oder umgekehrt (Unterwasser), und dabei sich der Spiegel des gro√üen Gef√§√ües sich nicht ver√§ndert. Die H√∂he h bezieht sich auf t=0.


Ausgleich bei großem Oberwasser


Bild Ausflusszeit Oberwasser
Formel Ausflusszeit Oberwasser

Ausgleich bei großem Unterwasser


Bild Ausflusszeit Unterwasser
Formel Ausflusszeit Unterwasser
tA = Ausflusszeit (s)
A1 = Behälterquerschnitt (m2)
A2 = Behälterquerschnitt (m2)
h = Spiegeldifferenz (m)
μ = Ausflusszahl (-)
Aa = Ausflussquerschnitt (m2)
g = Fallbeschleunigung 9,81 (m/s2)
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