Festigkeitsberechnungen Pressung - Platten - Knickung

Seitenübersicht:
Pressung- Flächen- und Lagerpressung
Hertzsche Pressung
- Punktberührung Kugel - Kugel
- Linienberührung Zylinder - Zylinder
Platten
- Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung
- Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung
- Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte
- Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung
- Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung
Scheiben
- Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast
- Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen
- Kreisringscheibe mit Schubbelastung
- Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung
Knickung
- Elastische Knickung - Euler
- Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser
Pressung
Flächen- und Lagerpressung


Lagerpressung


F = Belastung (N)
b = Breite (mm)
l = Länge (mm)
d = Lagerdurchmesser (mm)
F = Belastung (N)
b = Breite (mm)
l = Länge (mm)
d = Lagerdurchmesser (mm)
Werkstoffart | ruhende Belastung | schwellende Belastung |
Zähe Werkstoffe |
![]() |
![]() |
Spröde Werkstoffe |
![]() |
![]() |
σdF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ
dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)
[1] B. Schlecht - Maschinenelemente Tabellen und Formelsammlung Band 3
nach obenHertzsche Pressung -
Die Hertzsche Pressung ist gültig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfläche eben und klein gegenüber den Abmessungen der Körper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte für Hertzsche Pressung
Punktberührung Kugel - Kugel


bei Stahl mit μ = 0,3



Berührungsfläche


bei Stahl mit μ = 0,3

Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper

Punktberührung Kugel - Ebene

Punktberührung Kugel - konkave Fläche

r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Radius der Druckfläche (mm)
δ = Gesamtabplattung (mm)
>
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Radius der Druckfläche (mm)
δ = Gesamtabplattung (mm)
>
Berechnungsprogramm - Hertzsche Pressung Punktberührung
Berechnung der Hertzsche Pressung bei Punktberührung zweier Kugeln bzw. einer Kugel auf der Ebene.
nach oben
Linienberührung Zylinder - Zylinder




Berührungsfläche


bei Stahl mit μ = 0,3

Punktberührung Zylinder - Ebene

Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l = Länge der Druckfläche (mm)
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l = Länge der Druckfläche (mm)
Berechnungsprogramm - Hertzsche Pressung Linienberührung
Berechnung der Hertzsche Pressung bei Linienberührung zweier Zylinder bzw. eines Zylinders auf der Ebene.
nach oben
Platten
Die folgenden Gleichungen für Platten sind nur gültig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung
Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Eckkräfte

Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

max. Spannungen Mitte am langen Rand

a = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f = Durchbiegung (mm)
F = Eckkräfte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
a = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f = Durchbiegung (mm)
F = Eckkräfte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
Berechnungsprogramm - Konstanten für Plattenberechnung
Berechnung der Berechnungskonstanten für die Plattenberechnung.
nach oben
Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Rand

R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte

Spannungen Plattenmitte


Durchbiegung Plattenmitte

Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Rand

F = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b = Belastungsradius (mm)
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
F = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b = Belastungsradius (mm)
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )
Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte


Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Ende der kleinen Achse

Spannungen am Ende der großen Achse

a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung

Plattensteifigkeit

Spannung im Plattenschwerpunkt

Durchbiegung im Plattenschwerpunkt

Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf

a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
nach oben
Scheibe
Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.
Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast

Spannungen

h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen

Spannungen

q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
Kreisringscheibe mit Schubbelastung

Einwirkende Schubspannung

Spannungen

τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung

Innendruck in der Bohrung

Spannungen

p = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
p = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben
Knickung
Elastische Knickung - Euler
Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken Stäben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen Stäben
(λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.
Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen
Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.
Lastfall 1 | Lastfall 2 | Lastfall 3 | Lastfall 4 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
lk = 2 * l | lk = l | lk = 0,7 * l | lk = 0,5 * l |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Fk = Knickkraft (N) E = E-Modul (N/mm²) ![]() l k = Knicklänge (mm) l = Stablänge (mm) |
Knickspannung und Schlankheitsgrad
Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.

Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel

Grenzschlankheitsgrad für die Gültigkeit der Eulerformel



l k = Knicklänge (mm)
i = Trägheitsradius (mm)
I = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A = Querschnitt (mm²)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
l k = Knicklänge (mm)
i = Trägheitsradius (mm)
I = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A = Querschnitt (mm²)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser
Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr gültig.
Für diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien über der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser
durch einen Tangentenmodul berücksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist.
Mit der Engesserformel erhält man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).
Knickspannung nach Tetmajer

Werkstoff | a | b | c |
S235JR (St37) | 0 | -1,14 | 335 |
E295/E395 (St50/60) | 0 | -0,62 | 335 |
5% Ni-Stahl | 0 | -2,3 | 470 |
GG20 | 0,053 | -12 | 775 |
Nadelholz | 0 | -0,194 | 29,3 |
λ = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
λ = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
Knickspannung nach Engesser

Knickspannungsverlauf für S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser

Berechnungsprogramm - Engesser Knickung
Berechnung der unelastischen Knickspannung nach Engesser
Knicksicherheit

F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A = Querschnittsfläche (mm²)
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A = Querschnittsfläche (mm²)
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