Berechnung der Hertzsche Pressung,
Platten, Scheiben sowie der Knickung

Pressung

Flächen- und Lagerpressung

Flächenpressung

Lagerpressung

p  = Flächenpressung (N/mm²)
F   = Belastung (N)
b   = Breite (mm)
l   = Länge (mm)
d   = Lagerdurchmesser (mm)

p  = Flächenpressung (N/mm²)
F   = Belastung (N)
b   = Breite (mm)
l   = Länge (mm)
d   = Lagerdurchmesser (mm)

Werkstoffart	ruhende Belastung	schwellende Belastung
Zähe Werkstoffe
Spröde Werkstoffe

σ_dF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ _dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)

Hertzsche Pressung -

Die Hertzsche Pressung ist gültig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfläche eben und klein gegenüber den Abmessungen der Körper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte für Hertzsche Pressung

Punktberührung Kugel - Kugel

bei Stahl mit μ = 0,3



Berührungsfläche

bei Stahl mit μ = 0,3

Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper

Punktberührung Kugel - Ebene

Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1

Punktberührung Kugel - konkave Fläche

Radius r2 wird negativ r2 < 0

p₀ = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r _1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E _1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Radius der Druckfläche (mm)
δ   = Gesamtabplattung (mm)
>

p₀ = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r _1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E _1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Radius der Druckfläche (mm)
δ   = Gesamtabplattung (mm)
>

Linienberührung Zylinder - Zylinder

Berührungsfläche

bei Stahl mit μ = 0,3

Punktberührung Zylinder - Ebene

Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1
Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder

p₀ = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r _1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E _1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l   = Länge der Druckfläche (mm)

p₀ = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r _1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E _1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l   = Länge der Druckfläche (mm)

Platten

Die folgenden Gleichungen für Platten sind nur gültig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung

Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Eckkräfte

Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

max. Spannungen Mitte am langen Rand

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
σ_x = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σ_y = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkräfte (N)
C_1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
σ_x = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σ_y = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkräfte (N)
C_1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.

Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte


Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Rand

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte

Die einwirkende Kraft in der Mitte, ist gleichmäßig auf einer Kreisfläche mit Radius b verteilt.

Gelenkig gelagert Rand


Spannungen Plattenmitte


Durchbiegung Plattenmitte


Eingespannter Rand


Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Rand

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
F   = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b   = Belastungsradius (mm)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
F   = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b   = Belastungsradius (mm)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung

Randbedingung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )

Eingespannter Rand

Spannungen Plattenmitte


Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Ende der kleinen Achse

Spannungen am Ende der großen Achse

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a   = große Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ _x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ _y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a   = große Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ _x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ _y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Plattensteifigkeit

Spannung im Plattenschwerpunkt

Durchbiegung im Plattenschwerpunkt

Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a   = große Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ _x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ _y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a   = große Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm²)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ _x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ _y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

Scheiben

Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.

Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast

Spannungen

q  = Streckenlast (N/mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

q  = Streckenlast (N/mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

Kreisscheibe bei gleichmäßiger Erwärmung

Bei einer Kreisscheibe mit nicht eingespanntem Rand, ergeben sich keine Spannungen sondern nur Radialverschiebungen.
Mit eingespanntem Rand betragen die Spannungen folgende Werte.

σ_r =Radialspannung (N/mm²)
σ_t =Tangentialspannung (N/mm²)
E  = E-Modul (N/mm²)
α_t = Ausdehnungskoeffizient (1/K)
Δ_t = Temperaturdifferenz (°C)
τ ν_rt = Querdehnungszahl (-)

σ_r =Radialspannung (N/mm²)
σ_t =Tangentialspannung (N/mm²)
E  = E-Modul (N/mm²)
α_t = Ausdehnungskoeffizient (1/K)
Δ_t = Temperaturdifferenz (°C)
τ ν_rt = Querdehnungszahl (-)

Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen

Spannungen

q_a = Streckenlast außen (N/mm)
q _i = Streckenlast innen (N/mm)
r _a = Außenradius (mm)
r _i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

q_a = Streckenlast außen (N/mm)
q _i = Streckenlast innen (N/mm)
r _a = Außenradius (mm)
r _i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

Kreisringscheibe mit Schubbelastung

Einwirkende Schubspannung

Spannungen

τ_a = Schubbelastung außen (N/mm2)
τ _i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r _a = Außenradius (mm)
r _i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

τ_a = Schubbelastung außen (N/mm2)
τ _i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r _a = Außenradius (mm)
r _i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung

Innendruck in der Bohrung

Spannungen

q_a = Streckenlast (N/mm)
p   = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h   = Scheibendicke (mm)
r _i = Bohrungsradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

q_a = Streckenlast (N/mm)
p   = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h   = Scheibendicke (mm)
r _i = Bohrungsradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ _r = Radialspannung (N/mm2)
σ _t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ _rt = Schubspannung (N/mm2)

Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte

Wenn man die äußeren Kräfte an den Massenelementen ansetzt, lassen sich die Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit ω ermitteln.

Winkelgeschwindigkeit

ω  = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
T = Zeit (s)
n_sec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
n_min = Drehzahl pro Minute (1/min)

ω  = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
T = Zeit (s)
n_sec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
n_min = Drehzahl pro Minute (1/min)

Umlaufender Stab

Spannungen und Verformungen im Stab durch die Masse am Stabende mit dem Abstand l₁.

Radialspannung im Abstand r

Verformung im Abstand r

σ_r = Radialspannung (N/m²)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m²)
E = E-Modul (N/m²)
l = Stablänge (m)
l₁ = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)

σ_r = Radialspannung (N/m²)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m²)
E = E-Modul (N/m²)
l = Stablänge (m)
l₁ = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)

Dünnwandiger Ring

Tangentialspannung

Verformung

σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m²)

σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m²)

Vollscheibe mit konstanter Dicke

Bei einer Scheibe ist die Scheibendicke klein im Verhältnis zum Außenradius der Scheibe.
Für eine schmale Scheibe kann angenommen werden, dass die axiale Spannung σ_x=0 ist.

Radialspannung

Tangentialspannung

Verformung

Berechnungskonstante

σ_r = Radialspannung (N/m²)
σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m²)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c₁ = c₃ = Berechnungskonstante (-)

σ_r = Radialspannung (N/m²)
σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m²)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c₁ = c₃ = Berechnungskonstante (-)

Ringförmige Scheibe mit konstanter Dicke

Radialspannung Randbedingung

Radialspannung

Tangentialspannung

Verformung

Berechnungskonstante

σ_r = Radialspannung (N/m²)
σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
r_a = Außenradius der Scheibe (m)
r_i = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m²)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c₁ = c₃ = Berechnungskonstante (-)

σ_r = Radialspannung (N/m²)
σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
r_a = Außenradius der Scheibe (m)
r_i = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m²)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c₁ = c₃ = Berechnungskonstante (-)

Dickwandiger Hohlzylinder

Infolge der behinderten Querdehnung, treten bei dickwandigen Hohlzylindern in Längsrichtung zusätzlich Axialspannungen auf σ_x.

Radialspannung

Tangentialspannung

Axialspannung

σ_r = Radialspannung (N/m²)
σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
σ_x = Axialspannung (N/m²)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
r_a = Außenradius der Scheibe (m)
r_i = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3

σ_r = Radialspannung (N/m²)
σ_t = Tangentialspannung (N/m²)
σ_x = Axialspannung (N/m²)
ρ = Dichte (kg/m³)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
r_a = Außenradius der Scheibe (m)
r_i = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3

Knickung

Elastische Knickung - Euler

Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken Stäben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen Stäben (λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.

Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen

Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.

Lastfall 1	Lastfall 2	Lastfall 3	Lastfall 4
lk = 2 * l	lk = l	lk = 0,7 * l	lk = 0,5 * l
Fk = Knickkraft (N) E   = E-Modul (N/mm²)   = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 ) l k = Knicklänge (mm) l   = Stablänge (mm)

Knickspannung und Schlankheitsgrad

Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.

Schlankheitsgrad des Knickstabs

Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel

Grenzschlankheitsgrad für die Gültigkeit der Eulerformel

Erforderliches Trägheitsmoment

λ  = Schlankheitsgrad (-)
l _k = Knicklänge (mm)
i   = Trägheitsradius (mm)
I   = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm⁴ )
A   = Querschnitt (mm²)
σ _k = Knickspannung (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm²)
λ _p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ _dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)

λ  = Schlankheitsgrad (-)
l _k = Knicklänge (mm)
i   = Trägheitsradius (mm)
I   = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm⁴ )
A   = Querschnitt (mm²)
σ _k = Knickspannung (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm²)
λ _p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ _dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)

Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser

Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr gültig.
Für diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien über der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser durch einen Tangentenmodul berücksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist. Mit der Engesserformel erhält man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).

Knickspannung nach Tetmajer

Werkstoff	a	b	c
S235JR (St37)	0	-1,14	335
E295/E395 (St50/60)	0	-0,62	335
5% Ni-Stahl	0	-2,3	470
GG20	0,053	-12	775
Nadelholz	0	-0,194	29,3

σ_k = Knickspannung (N/mm2)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σ _dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm²)

σ_k = Knickspannung (N/mm2)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σ _dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm²)

Knickspannung nach Engesser

Knickspannungsverlauf für S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser

Knicksicherheit

Knicksicherheit

S_k = Knicksicherheit (-)
F _k = Knickkraft (N)
F _d = auftretende Druckkraft (N)
σ _k = Knickspannung (N/mm2)
σ _d = Druckspannung (N/mm2)
A   = Querschnittsfläche (mm²)

S_k = Knicksicherheit (-)
F _k = Knickkraft (N)
F _d = auftretende Druckkraft (N)
σ _k = Knickspannung (N/mm2)
σ _d = Druckspannung (N/mm2)
A   = Querschnittsfläche (mm²)