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Formelsammlung und Berechnungsprogramme
Maschinen- und Anlagenbau

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Update:  05.12.2022

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Festigkeitsberechnung Knickung

Umfassende Informationen, leichte Verständlichkeit und schnelle Nutzbar­keit der Auslegungs- oder Berechnungsgleichungen ermöglichen die sofortige Dimensionierung von Bauteilen.




Plattenspannung Maschinenbau

Das Standardwerk der Ingenieure in Studium und Beruf mit den Schwerpunkten ‚ÄěAllgemeiner Maschinenbau‚Äú.


Menue
Festigkeitsformeln


Berechnung der Hertzsche Pressung,
Platten, Scheiben sowie der Knickung

Pressung

Flächen- und Lagerpressung

Flächenpressung
Flächenpressung
Flächenpressung Bild


Lagerpressung
Lagerpressung
Lagerpressung Bild


p  = Fl√§chenpressung (N/mm¬≤)
F   = Belastung (N)
b   = Breite (mm)
l   = L√§nge (mm)
d   = Lagerdurchmesser (mm)
p  = Fl√§chenpressung (N/mm¬≤)
F   = Belastung (N)
b   = Breite (mm)
l   = L√§nge (mm)
d   = Lagerdurchmesser (mm)
Zulässige Pressungswerte N/mm² - [1]
Werkstoffart ruhende Belastung schwellende Belastung
Zähe
Werkstoffe
zul. Pressung zul. Pressung Zähe Werksoffe
Spröde
Werkstoffe
zul. Pressung zul. Pressung Spröde Werkstoffe

σdF = Druck Flie√ügrenze (N/mm¬≤)
σ dB = Bruchfestigkeit (N/mm¬≤)

nach oben

Hertzsche Pressung -

Die Hertzsche Pressung ist g√ľltig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfl√§che eben und klein gegen√ľber den Abmessungen der K√∂rper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte f√ľr Hertzsche Pressung

Punktber√ľhrung Kugel - Kugel


Punktpressung
Punktpressung
bei Stahl mit μ = 0,3
Punktpressung Kugel
Radius
E_Modul
Ber√ľhrungsfl√§che

Punktpressung
Ber√ľhrungsfl√§che
bei Stahl mit μ = 0,3
Ber√ľhrungsfl√§che
Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper
Abplattung
Punktber√ľhrung Kugel - Ebene
Punktpressung
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1


Punktber√ľhrung Kugel - konkave Fl√§che
Punktpressung konkave Fläche
Radius r2 wird negativ r2 < 0

p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Radius der Druckfl√§che (mm)
δ   = Gesamtabplattung (mm)
>
p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Radius der Druckfl√§che (mm)
δ   = Gesamtabplattung (mm)
>

Berechnungsprogramm - Hertzsche Pressung Punktber√ľhrung

Berechnung der Hertzsche Pressung bei Punktber√ľhrung zweier Kugeln bzw. einer Kugel auf der Ebene.


nach oben

Linienber√ľhrung Zylinder - Zylinder


Linienpressung
Linenpressung Zylinder
Radius
E_Modul
Ber√ľhrungsfl√§che

Linienpressung
Ber√ľhrungsfl√§che
bei Stahl mit μ = 0,3
Ber√ľhrungsfl√§che
Punktber√ľhrung Zylinder - Ebene

Linienpressung
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1
Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder

p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Halbe Breite der Druckfl√§che (mm)
l   = L√§nge der Druckfl√§che (mm)
p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Halbe Breite der Druckfl√§che (mm)
l   = L√§nge der Druckfl√§che (mm)

Berechnungsprogramm - Hertzsche Pressung Linienber√ľhrung

Berechnung der Hertzsche Pressung bei Linienber√ľhrung zweier Zylinder bzw. eines Zylinders auf der Ebene.




nach oben

Platten

Die folgenden Gleichungen f√ľr Platten sind nur g√ľltig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung

Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Rechteckplatte aufliegend

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Eckkräfte
Eckkräfte
Eingespannter Rand

Rechteckplatte eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
max. Spannungen Mitte am langen Rand
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a  = Halbe Plattenl√§nge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm¬≤)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm¬≤)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm¬≤)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkr√§fte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgef√ľhrtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a  = Halbe Plattenl√§nge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm¬≤)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm¬≤)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm¬≤)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkr√§fte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgef√ľhrtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.

Berechnungsprogramm - Konstanten f√ľr Plattenberechnung

Berechnung der Berechnungskonstanten f√ľr die Plattenberechnung.


nach oben

Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Kreisplatte aufliegend

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung

Eingespannter Rand

Kreisplatte eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung am Rand
Spannungen am Rand
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
nach oben

Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte

Die einwirkende Kraft in der Mitte, ist gleichmäßig auf einer Kreisfläche mit Radius b verteilt.

Gelenkig gelagert Rand

Kreisplatte aufliegend
Spannungen Plattenmitte
Belastung p
Spannung
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung

Eingespannter Rand

Kreisplatte eingespannt
Spannungen Plattenmitte
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung am Rand
Spannungen am Rand
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
F   = Kraft aus der Fl√§chenbelastung (N)
b   = Belastungsradius (mm)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
F   = Kraft aus der Fl√§chenbelastung (N)
b   = Belastungsradius (mm)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

nach oben

Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung

Randbedingung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )

Eingespannter Rand
Ellipse eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung kleinen Achse
Spannungen am Ende der kleinen Achse
Spannungen großen Achse
Spannungen am Ende der großen Achse
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
nach oben

Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Dreieckplatte aufliegend

Plattensteifigkeit
Spannungen Plattenschwerpunkt
Spannung im Plattenschwerpunkt
Spannungen
Durchbiegung im Plattenschwerpunkt
Durchbiegung
Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)


nach oben

Scheiben

Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.

Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast


Kreisscheibe

Spannungen
Spannungen
q  = Streckenlast (N/mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
q  = Streckenlast (N/mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)

Kreisscheibe bei gleichmäßiger Erwärmung

Bei einer Kreisscheibe mit nicht eingespanntem Rand, ergeben sich keine Spannungen sondern nur Radialverschiebungen.
Mit eingespanntem Rand betragen die Spannungen folgende Werte.

Kreisscheibe
σr =Radialspannung (N/mm2)
σt =Tangentialspannung (N/mm2)
E  = E-Modul (N/mm2)
αt = Ausdehnungskoeffizient (1/K)
Δt = Temperaturdifferenz (¬įC)
τ νrt = Querdehnungszahl (-)
σr =Radialspannung (N/mm2)
σt =Tangentialspannung (N/mm2)
E  = E-Modul (N/mm2)
αt = Ausdehnungskoeffizient (1/K)
Δt = Temperaturdifferenz (¬įC)
τ νrt = Querdehnungszahl (-)
nach oben

Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen

Kreisringscheibe
Spannungen
Spannungen
qa = Streckenlast außen (N/mm)
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast außen (N/mm)
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben

Kreisringscheibe mit Schubbelastung


Kreisringscheibe

Einwirkende Schubspannung
Spannungen
Spannungen
Spannungen
τa = Schubbelastung au√üen (N/mm2)
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
τa = Schubbelastung au√üen (N/mm2)
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)

Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung


unendliche Scheibe

Innendruck in der Bohrung
Spannungen
Spannungen
Spannungen
qa = Streckenlast (N/mm)
p   = Druck in der Bohrung (N/mm¬≤)
h   = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast (N/mm)
p   = Druck in der Bohrung (N/mm¬≤)
h   = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)


nach oben

Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte


Wenn man die √§u√üeren Kr√§fte an den Massenelementen ansetzt, lassen sich die Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit ω ermitteln.

Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit
ω  = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
T = Zeit (s)
nsec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
nmin = Drehzahl pro Minute (1/min)
ω  = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
T = Zeit (s)
nsec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
nmin = Drehzahl pro Minute (1/min)
nach oben

Umlaufender Stab

Spannungen und Verformungen im Stab durch die Masse am Stabende mit dem Abstand l1.


Radialspannung im Abstand r

Stab Radialspannung

Verformung im Abstand r

Stab Verformung
Stab
σr = Radialspannung (N/m2)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m2)
E = E-Modul (N/m2)
l = Stablänge (m)
l1 = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)
σr = Radialspannung (N/m2)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m2)
E = E-Modul (N/m2)
l = Stablänge (m)
l1 = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)
nach oben

D√ľnnwandiger Ring


Tangentialspannung

Ring Tabgentialspannung

Verformung

Ring Verformung
Ring
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m2)
nach oben

Vollscheibe mit konstanter Dicke

Bei einer Scheibe ist die Scheibendicke klein im Verhältnis zum Außenradius der Scheibe.
F√ľr eine schmale Scheibe kann angenommen werden, dass die axiale Spannung σx=0 ist.


Radialspannung

Scheibe voll Radialspannung

Tangentialspannung

Scheibe voll Tangentialspannung

Verformung

Scheibe voll Verformung

Berechnungskonstante

Scheibe voll Berechnungskonstanten
Scheibe1
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
nach oben

Ringförmige Scheibe mit konstanter Dicke


Radialspannung Randbedingung

Ringscheibe Randbedingung

Radialspannung

Ringscheibe Radialspannung

Tangentialspannung

Ringscheibe Tangentialspannung

Verformung

Ringscheibe Verformung

Berechnungskonstante

Ringscheibe Berechnungskonstanten
Scheibe2
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
nach oben

Dickwandiger Hohlzylinder

Infolge der behinderten Querdehnung, treten bei dickwandigen Hohlzylindern in L√§ngsrichtung zus√§tzlich Axialspannungen auf σx.


Radialspannung

Ringscheibe Radialspannung

Tangentialspannung

Ringscheibe Tangentialspannung

Axialspannung

Ringscheibe Axialspannung
Zylinder
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
σx = Axialspannung (N/m2)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
σx = Axialspannung (N/m2)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
nach oben

Knickung

Elastische Knickung - Euler

Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken St√§ben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen St√§ben (λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.

Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen

Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.

Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 3 Lastfall 4
Lastafall 1 Lastafall 2 Lastafall 3 Lastafall 4
lk = 2 * l lk = l lk = 0,7 * l lk = 0,5 * l
Lastafall 1 Lastafall 2 Lastafall 3 Lastafall 4
Fk = Knickkraft (N)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
Tr√§gheitsmoment   = kleinstes axiales Tr√§gheitsmoment (mm4 )
l k = Knicklänge (mm)
l   = Stabl√§nge (mm)
nach oben

Knickspannung und Schlankheitsgrad

Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.

Schlankheitsgrad des Knickstabs
Schlankheitsgrad
Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel
Eulerformel
Grenzschlankheitsgrad f√ľr die G√ľltigkeit der Eulerformel
Grenz-Schlankheitsgrad
Grenz-Schlankheitsgrad
Erforderliches Trägheitsmoment
Trägheitsmoment
λ  = Schlankheitsgrad (-)
l k = Knicklänge (mm)
i   = Tr√§gheitsradius (mm)
I   = kleinstes axiales Tr√§gheitsmoment (mm4 )
A   = Querschnitt (mm¬≤)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
λ  = Schlankheitsgrad (-)
l k = Knicklänge (mm)
i   = Tr√§gheitsradius (mm)
I   = kleinstes axiales Tr√§gheitsmoment (mm4 )
A   = Querschnitt (mm¬≤)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
nach oben

Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser

Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr g√ľltig.
F√ľr diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien √ľber der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser durch einen Tangentenmodul ber√ľcksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist. Mit der Engesserformel erh√§lt man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).

Knickspannung nach Tetmajer

Tetmajerformel
Werkstoff a b c
S235JR (St37) 0 -1,14 335
E295/E395 (St50/60) 0 -0,62 335
5% Ni-Stahl 0 -2,3 470
GG20 0,053 -12 775
Nadelholz 0 -0,194 29,3

σk = Knickspannung (N/mm2)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)

σk = Knickspannung (N/mm2)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)

Knickspannung nach Engesser


Engesserformel

Die Gleichung ist iterativ zu lösen.


Knickspannungsverlauf f√ľr S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser


Diagramm Knickspannung

Berechnungsprogramm - Engesser Knickung

Berechnung der unelastischen Knickspannung nach Engesser


Knicksicherheit

Knicksicherheit
Knicksicherheit
Sk = Knicksicherheit (-)
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A   = Querschnittsfl√§che (mm¬≤)
Sk = Knicksicherheit (-)
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A   = Querschnittsfl√§che (mm¬≤)
nach oben