Berechnung der Hertzsche Pressung,
Platten, Scheiben sowie der Knickung
Pressung
Flächen- und Lagerpressung
Flächenpressung
Lagerpressung
p = Flächenpressung (N/mm²)
F
= Belastung (N)
b
= Breite (mm)
l
= Länge (mm)
d
= Lagerdurchmesser (mm)
p = Flächenpressung (N/mm²)
F
= Belastung (N)
b
= Breite (mm)
l
= Länge (mm)
d
= Lagerdurchmesser (mm)
Zulässige Pressungswerte N/mm² - [1]
Werkstoffart |
ruhende Belastung |
schwellende Belastung |
Zähe Werkstoffe |
 |
 |
Spröde Werkstoffe |
 |
 |
σdF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ
dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)
nach oben
Hertzsche Pressung -
Die Hertzsche Pressung ist gültig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfläche eben und klein gegenüber den Abmessungen der Körper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte für Hertzsche Pressung
Punktberührung Kugel - Kugel

bei Stahl mit μ = 0,3

Berührungsfläche

bei Stahl mit μ = 0,3

Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper
Punktberührung Kugel - Ebene
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1
Punktberührung Kugel - konkave Fläche
Radius r2 wird negativ r2 < 0
p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r
1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F
= Druckbelastung (N)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E
1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a
= Radius der Druckfläche (mm)
δ
= Gesamtabplattung (mm)
>
p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r
1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F
= Druckbelastung (N)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E
1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a
= Radius der Druckfläche (mm)
δ
= Gesamtabplattung (mm)
>
nach oben
Linienberührung Zylinder - Zylinder

Berührungsfläche

bei Stahl mit μ = 0,3
Punktberührung Zylinder - Ebene
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1
Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder
p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r
1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F
= Druckbelastung (N)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E
1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a
= Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l
= Länge der Druckfläche (mm)
p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r
1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F
= Druckbelastung (N)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E
1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a
= Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l
= Länge der Druckfläche (mm)
nach oben
Platten
Die folgenden Gleichungen für Platten sind nur gültig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung
Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung
Gelenkig gelagert Rand
Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Eckkräfte
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

max. Spannungen Mitte am langen Rand
p = Flächenbelastung (N/mm²)
a = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f = Durchbiegung (mm)
F = Eckkräfte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
p = Flächenbelastung (N/mm²)
a = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f = Durchbiegung (mm)
F = Eckkräfte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
nach oben
Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung
Gelenkig gelagert Rand
Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Rand
p = Flächenbelastung (N/mm²)
R
= Plattenradius (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
p = Flächenbelastung (N/mm²)
R
= Plattenradius (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
nach oben
Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte
Die einwirkende Kraft in der Mitte, ist gleichmäßig auf einer Kreisfläche mit Radius b verteilt.
p = Flächenbelastung (N/mm²)
F
= Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b
= Belastungsradius (mm)
R
= Plattenradius (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
p = Flächenbelastung (N/mm²)
F
= Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b
= Belastungsradius (mm)
R
= Plattenradius (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
nach oben
Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung
Randbedingung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte

Durchbiegung Plattenmitte

Spannungen am Ende der kleinen Achse

Spannungen am Ende der großen Achse
p = Flächenbelastung (N/mm²)
a
= große Halbachse (mm)
b
= kleine Halbachse (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ
x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ
y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
p = Flächenbelastung (N/mm²)
a
= große Halbachse (mm)
b
= kleine Halbachse (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ
x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ
y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
nach oben
Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung
Gelenkig gelagert Rand
Plattensteifigkeit

Spannung im Plattenschwerpunkt

Durchbiegung im Plattenschwerpunkt

Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf
p = Flächenbelastung (N/mm²)
a
= große Halbachse (mm)
b
= kleine Halbachse (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ
x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ
y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
p = Flächenbelastung (N/mm²)
a
= große Halbachse (mm)
b
= kleine Halbachse (mm)
h
= Plattendicke (mm)
E
= E-Modul (N/mm²)
μ
= Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ
x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ
y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f
= Durchbiegung (mm)
nach oben
Scheiben
Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.
Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast
Spannungen
q = Streckenlast (N/mm)
h
= Scheibendicke (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
q = Streckenlast (N/mm)
h
= Scheibendicke (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
Kreisscheibe bei gleichmäßiger Erwärmung
Bei einer Kreisscheibe mit nicht eingespanntem Rand, ergeben sich keine Spannungen sondern nur Radialverschiebungen.
Mit eingespanntem Rand betragen die Spannungen folgende Werte.
σr =Radialspannung (N/mm2)
σt =Tangentialspannung (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm2)
αt = Ausdehnungskoeffizient (1/K)
Δt = Temperaturdifferenz (°C)
τ
νrt = Querdehnungszahl (-)
σr =Radialspannung (N/mm2)
σt =Tangentialspannung (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm2)
αt = Ausdehnungskoeffizient (1/K)
Δt = Temperaturdifferenz (°C)
τ
νrt = Querdehnungszahl (-)
nach oben
Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen

Spannungen
qa = Streckenlast außen (N/mm)
q
i = Streckenlast innen (N/mm)
r
a = Außenradius (mm)
r
i = Innenradius (mm)
r
= Radius Spannungsort (mm)
h
= Scheibendicke (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast außen (N/mm)
q
i = Streckenlast innen (N/mm)
r
a = Außenradius (mm)
r
i = Innenradius (mm)
r
= Radius Spannungsort (mm)
h
= Scheibendicke (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben
Kreisringscheibe mit Schubbelastung
Einwirkende Schubspannung

Spannungen
τa = Schubbelastung außen (N/mm2)
τ
i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r
a = Außenradius (mm)
r
i = Innenradius (mm)
r
= Radius Spannungsort (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
τa = Schubbelastung außen (N/mm2)
τ
i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r
a = Außenradius (mm)
r
i = Innenradius (mm)
r
= Radius Spannungsort (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung
Innendruck in der Bohrung

Spannungen
qa = Streckenlast (N/mm)
p
= Druck in der Bohrung (N/mm²)
h
= Scheibendicke (mm)
r
i = Bohrungsradius (mm)
r
= Radius Spannungsort (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast (N/mm)
p
= Druck in der Bohrung (N/mm²)
h
= Scheibendicke (mm)
r
i = Bohrungsradius (mm)
r
= Radius Spannungsort (mm)
σ
r = Radialspannung (N/mm2)
σ
t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ
rt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben
Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte
Wenn man die äußeren Kräfte an den Massenelementen ansetzt, lassen sich die Spannungen und Verformungen
mit der Winkelgeschwindigkeit ω ermitteln.
Winkelgeschwindigkeit
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
T = Zeit (s)
nsec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
nmin = Drehzahl pro Minute (1/min)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
T = Zeit (s)
nsec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
nmin = Drehzahl pro Minute (1/min)
nach oben
Umlaufender Stab
Spannungen und Verformungen im Stab durch die Masse am Stabende mit dem Abstand l1.
Radialspannung im Abstand r
Verformung im Abstand r
σr = Radialspannung (N/m2)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m2)
E = E-Modul (N/m2)
l = Stablänge (m)
l1 = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)
σr = Radialspannung (N/m2)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m2)
E = E-Modul (N/m2)
l = Stablänge (m)
l1 = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)
nach oben
Dünnwandiger Ring
Tangentialspannung
Verformung
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m2)
nach oben
Vollscheibe mit konstanter Dicke
Bei einer Scheibe ist die Scheibendicke klein im Verhältnis zum Außenradius der Scheibe.
Für eine schmale Scheibe kann angenommen werden, dass die axiale Spannung σx=0 ist.
Radialspannung
Tangentialspannung
Verformung
Berechnungskonstante
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
nach oben
Ringförmige Scheibe mit konstanter Dicke
Radialspannung Randbedingung
Radialspannung
Tangentialspannung
Verformung
Berechnungskonstante
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
nach oben
Dickwandiger Hohlzylinder
Infolge der behinderten Querdehnung, treten bei dickwandigen Hohlzylindern in Längsrichtung
zusätzlich Axialspannungen auf σx.
Radialspannung
Tangentialspannung
Axialspannung
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
σx = Axialspannung (N/m2)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
σr = Radialspannung (N/m2)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
σx = Axialspannung (N/m2)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
nach oben
Knickung
Elastische Knickung - Euler
Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken Stäben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen Stäben
(λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.
Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen
Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.
Lastfall 1 |
Lastfall 2 |
Lastfall 3 |
Lastfall 4 |
 |
 |
 |
 |
lk = 2 * l |
lk = l |
lk = 0,7 * l |
lk = 0,5 * l |
 |
 |
 |
 |
Fk = Knickkraft (N) E
= E-Modul (N/mm²)
= kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 ) l
k = Knicklänge (mm) l
= Stablänge (mm)
|
nach oben
Knickspannung und Schlankheitsgrad
Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.
Schlankheitsgrad des Knickstabs

Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel

Grenzschlankheitsgrad für die Gültigkeit der Eulerformel
Erforderliches Trägheitsmoment
λ = Schlankheitsgrad (-)
l
k = Knicklänge (mm)
i
= Trägheitsradius (mm)
I
= kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A
= Querschnitt (mm²)
σ
k = Knickspannung (N/mm2)
E
= E-Modul (N/mm²)
λ
p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ
dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
λ = Schlankheitsgrad (-)
l
k = Knicklänge (mm)
i
= Trägheitsradius (mm)
I
= kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A
= Querschnitt (mm²)
σ
k = Knickspannung (N/mm2)
E
= E-Modul (N/mm²)
λ
p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ
dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
nach oben
Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser
Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr gültig.
Für diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien über der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser
durch einen Tangentenmodul berücksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist.
Mit der Engesserformel erhält man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).
Knickspannung nach Tetmajer
Werkstoff |
a |
b |
c |
S235JR (St37) |
0 |
-1,14 |
335 |
E295/E395 (St50/60) |
0 |
-0,62 |
335 |
5% Ni-Stahl |
0 |
-2,3 |
470 |
GG20 |
0,053 |
-12 |
775 |
Nadelholz |
0 |
-0,194 |
29,3 |
σk = Knickspannung (N/mm2)
λ
= Schlankheitsgrad (-)
a - b - c = Berechnungsfaktoren (-)
σ
dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E
= E-Modul (N/mm²)
σk = Knickspannung (N/mm2)
λ
= Schlankheitsgrad (-)
a - b - c = Berechnungsfaktoren (-)
σ
dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E
= E-Modul (N/mm²)
Knickspannung nach Engesser
Die Gleichung ist iterativ zu lösen.
Knickspannungsverlauf für S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser
Knicksicherheit
Knicksicherheit
Sk = Knicksicherheit (-)
F
k = Knickkraft (N)
F
d = auftretende Druckkraft (N)
σ
k = Knickspannung (N/mm2)
σ
d = Druckspannung (N/mm2)
A
= Querschnittsfläche (mm²)
Sk = Knicksicherheit (-)
F
k = Knickkraft (N)
F
d = auftretende Druckkraft (N)
σ
k = Knickspannung (N/mm2)
σ
d = Druckspannung (N/mm2)
A
= Querschnittsfläche (mm²)
nach oben