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Umfassende Informationen, leichte Verständlichkeit und schnelle NutzbarÂkeit der Auslegungs- oder Berechnungsgleichungen ermöglichen die sofortige Dimensionierung von Bauteilen.
Das Standardwerk der Ingenieure in Studium und Beruf mit den Schwerpunkten „Allgemeiner Maschinenbau“.
Festigkeitsberechnungen Pressung - Platten - Knickung
Seitenübersicht:
Pressung- Flächen- und Lagerpressung
Hertzsche Pressung
- Punktberührung Kugel - Kugel
- Linienberührung Zylinder - Zylinder
Platten
- Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung
- Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung
- Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte
- Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung
- Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung
Scheiben
- Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast
- Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen
- Kreisringscheibe mit Schubbelastung
- Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung
Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte
- Winkelgeschwindigkeit
- Umlaufender Stab
- Dünnwandiger Ring
- Vollscheibe mit konstanter Dicke
- Ringförmige Scheibe mit konstanter Dicke
- Dickwandiger Zylinder
Knickung
- Elastische Knickung - Euler
- Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser
Pressung
Flächen- und Lagerpressung
Lagerpressung
F = Belastung (N)
b = Breite (mm)
l = Länge (mm)
d = Lagerdurchmesser (mm)
F = Belastung (N)
b = Breite (mm)
l = Länge (mm)
d = Lagerdurchmesser (mm)
| Werkstoffart | ruhende Belastung | schwellende Belastung |
| Zähe Werkstoffe |
 |
 |
| Spröde Werkstoffe |
 |
 |
σdF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σ
dB = Bruchfestigkeit (N/mm²)
Hertzsche Pressung -
Die Hertzsche Pressung ist gültig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfläche eben und klein gegenüber den Abmessungen der Körper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte für Hertzsche Pressung
Punktberührung Kugel - Kugel
bei Stahl mit μ = 0,3
Berührungsfläche
bei Stahl mit μ = 0,3
Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper
Punktberührung Kugel - Ebene
Punktberührung Kugel - konkave Fläche
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Radius der Druckfläche (mm)
δ = Gesamtabplattung (mm)
>
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Radius der Druckfläche (mm)
δ = Gesamtabplattung (mm)
>
Berechnungsprogramm - Hertzsche Pressung Punktberührung
Berechnung der Hertzsche Pressung bei Punktberührung zweier Kugeln bzw. einer Kugel auf der Ebene.
nach oben
Linienberührung Zylinder - Zylinder
Berührungsfläche
bei Stahl mit μ = 0,3
Punktberührung Zylinder - Ebene
Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l = Länge der Druckfläche (mm)
r 1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F = Druckbelastung (N)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l = Länge der Druckfläche (mm)
Berechnungsprogramm - Hertzsche Pressung Linienberührung
Berechnung der Hertzsche Pressung bei Linienberührung zweier Zylinder bzw. eines Zylinders auf der Ebene.
nach oben
Platten
Die folgenden Gleichungen für Platten sind nur gültig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung
Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Eckkräfte
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
max. Spannungen Mitte am langen Rand
a = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f = Durchbiegung (mm)
F = Eckkräfte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
a = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f = Durchbiegung (mm)
F = Eckkräfte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgeführtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
Berechnungsprogramm - Konstanten für Plattenberechnung
Berechnung der Berechnungskonstanten für die Plattenberechnung.
nach oben
Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Spannungen am Rand
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte
Die einwirkende Kraft in der Mitte, ist gleichmäßig auf einer Kreisfläche mit Radius b verteilt.
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Spannungen am Rand
F = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b = Belastungsradius (mm)
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
F = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b = Belastungsradius (mm)
R = Plattenradius (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )
Eingespannter Rand
Spannungen Plattenmitte
Durchbiegung Plattenmitte
Spannungen am Ende der kleinen Achse
Spannungen am Ende der großen Achse
a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung
Plattensteifigkeit
Spannung im Plattenschwerpunkt
Durchbiegung im Plattenschwerpunkt
Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf
a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
a = große Halbachse (mm)
b = kleine Halbachse (mm)
h = Plattendicke (mm)
E = E-Modul (N/mm²)
μ = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f = Durchbiegung (mm)
nach oben
Scheibe
Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.
Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast
Spannungen
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen
Spannungen
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
h = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
Kreisringscheibe mit Schubbelastung
Einwirkende Schubspannung
Spannungen
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung
Innendruck in der Bohrung
Spannungen
p = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
p = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben
Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte
Wenn man die äußeren Kräfte an den Massenelementen ansetzt, lassen sich die Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit ω ermitteln.
Winkelgeschwindigkeit
T = Zeit (s)
nsec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
nmin = Drehzahl pro Minute (1/min)
T = Zeit (s)
nsec = Drehzahl pro Sekunde (1/s)
nmin = Drehzahl pro Minute (1/min)
Umlaufender Stab
Spannungen und Verformungen im Stab durch die Masse am Stabende mit dem Abstand l1.
Radialspannung im Abstand r
Verformung im Abstand r
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m2)
E = E-Modul (N/m2)
l = Stablänge (m)
l1 = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)
u = Verformung im Abstand r (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
m = Masse am Stabende (kg)
A = Spannungsquerschnitts (m2)
E = E-Modul (N/m2)
l = Stablänge (m)
l1 = Abstand Massenschwerpunkt (m)
r = Abstand Spannungsquerschnitt (m)
Dünnwandiger Ring
Tangentialspannung
Verformung
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Mittelradius Ring (m)
E = E-Modul (N/m2)
Vollscheibe mit konstanter Dicke
Bei einer Scheibe ist die Scheibendicke klein im Verhältnis zum Außenradius der Scheibe.
Für eine schmale Scheibe kann angenommen werden, dass die axiale Spannung σx=0 ist.
Radialspannung
Tangentialspannung
Verformung
Berechnungskonstante
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
Ringförmige Scheibe mit konstanter Dicke
Radialspannung Randbedingung
Radialspannung
Tangentialspannung
Verformung
Berechnungskonstante
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
σt = Tangentialspannung (N/m2)
u = Verformung (m)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
R = Außenradius (m)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
E = E-Modul (N/m2)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
c1 = c3 = Berechnungskonstante (-)
Dickwandiger Hohlzylinder
Infolge der behinderten Querdehnung, treten bei dickwandigen Hohlzylindern in Längsrichtung zusätzlich Axialspannungen auf σx.
Radialspannung
Tangentialspannung
Axialspannung
σt = Tangentialspannung (N/m2)
σx = Axialspannung (N/m2)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
σt = Tangentialspannung (N/m2)
σx = Axialspannung (N/m2)
ρ = Dichte (kg/m3)
ω = Winkelgeschwindigkeit (1/s)
r = Radius der Spannung bzw. Verformung (m)
ra = Außenradius der Scheibe (m)
ri = Innenradius der Scheibe (m)
ν = Querdehnungszahl (-) = 0,3
Knickung
Elastische Knickung - Euler
Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken Stäben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen Stäben
(λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.
Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen
Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.
| Lastfall 1 | Lastfall 2 | Lastfall 3 | Lastfall 4 |
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| lk = 2 * l | lk = l | lk = 0,7 * l | lk = 0,5 * l |
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Fk = Knickkraft (N) E = E-Modul (N/mm²)  = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )l k = Knicklänge (mm) l = Stablänge (mm) |
|||
Knickspannung und Schlankheitsgrad
Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.
Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel
Grenzschlankheitsgrad für die Gültigkeit der Eulerformel
l k = Knicklänge (mm)
i = Trägheitsradius (mm)
I = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A = Querschnitt (mm²)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
l k = Knicklänge (mm)
i = Trägheitsradius (mm)
I = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A = Querschnitt (mm²)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser
Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr gültig.
Für diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien über der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser
durch einen Tangentenmodul berücksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist.
Mit der Engesserformel erhält man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).
Knickspannung nach Tetmajer
| Werkstoff | a | b | c |
| S235JR (St37) | 0 | -1,14 | 335 |
| E295/E395 (St50/60) | 0 | -0,62 | 335 |
| 5% Ni-Stahl | 0 | -2,3 | 470 |
| GG20 | 0,053 | -12 | 775 |
| Nadelholz | 0 | -0,194 | 29,3 |
λ = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
λ = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E = E-Modul (N/mm²)
Knickspannung nach Engesser
Knickspannungsverlauf für S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser
Berechnungsprogramm - Engesser Knickung
Berechnung der unelastischen Knickspannung nach Engesser
Knicksicherheit
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A = Querschnittsfläche (mm²)
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A = Querschnittsfläche (mm²)