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Update:  05.06.2017

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Festigkeitsberechnungen Pressung - Platten - Knickung

Pressung

Flächen- und Lagerpressung

Flächenpressung
Flächenpressung
Flächenpressung


Lagerpressung
Lagerpressung
Lagerpressung


p  = Flächenpressung (N/mm²)
F  = Belastung (N)
b  = Breite (mm)
l  = Länge (mm)
d  = Lagerdurchmesser (mm)
p  = Flächenpressung (N/mm²)
F  = Belastung (N)
b  = Breite (mm)
l  = Länge (mm)
d  = Lagerdurchmesser (mm)
nach oben

Hertzsche Pressung -

Die Hertzsche Pressung ist gültig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfläche eben und klein gegenüber den Abmessungen der Körper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte für Hertzsche Pressung

Punktberührung Kugel - Kugel


Punktpressung
Punktpressung
bei Stahl mit μ = 0,3
Punktpressung
Radius
E_Modul
Berührungsfläche

Punktpressung
Berührungsfläche
bei Stahl mit μ = 0,3
Berührungsfläche
Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper
Abplattung
Punktberührung Kugel - Ebene
Punktpressung
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1


Punktberührung Kugel - konkave Fläche
Punktpressung
Radius r2 wird negativ r2 < 0


p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F  = Druckbelastung (N)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a  = Radius der Druckfläche (mm)
δ  = Gesamtabplattung (mm)
>
p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F  = Druckbelastung (N)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a  = Radius der Druckfläche (mm)
δ  = Gesamtabplattung (mm)
>
nach oben

Linienberührung Zylinder - Zylinder


Linienpressung
Linenpressung
Radius
E_Modul
Berührungsfläche

Linienpressung
Berührungsfläche
bei Stahl mit μ = 0,3
Berührungsfläche
Punktberührung Zylinder - Ebene

Linienpressung
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1
Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder

p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F  = Druckbelastung (N)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a  = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l  = Länge der Druckfläche (mm)
p0 = Druck in der Mitte der Berührungsfläche - (N/mm²)
r1,2 = Krümmungsradius Körper 1,2 (mm)
F  = Druckbelastung (N)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a  = Halbe Breite der Druckfläche (mm)
l  = Länge der Druckfläche (mm)


nach oben

Platten

Die folgenden Gleichungen für Platten sind nur gültig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung

Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Rechteckplatte aufliegend

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Eckkräfte
Eckkräfte
Eingespannter Rand

Rechteckplatte eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
max. Spannungen Mitte am langen Rand
Spannungen
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkräfte (N)
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = Halbe Plattenlänge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm²)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkräfte (N)
nach oben

Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Kreisplatte aufliegend

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Eingespannter Rand

Kreisplatte eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Spannungen am Rand
Spannungen
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
R  = Plattenradius (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
R  = Plattenradius (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
nach oben

Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte

Gelenkig gelagert Rand

Kreisplatte aufliegend
Spannungen Plattenmitte
Belastung p
Spannung
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung

Eingespannter Rand

Kreisplatte eingespannt
Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Spannungen am Rand
Spannungen
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
F  = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b  = Belastungsradius (mm)
R  = Plattenradius (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
F  = Kraft aus der Flächenbelastung (N)
b  = Belastungsradius (mm)
R  = Plattenradius (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
nach oben

Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung

Randbedingung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )

Eingespannter Rand
Ellipse eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Spannungen am Ende der kleinen Achse
Spannungen
Spannungen am Ende der großen Achse
Spannungen
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = große Halbachse (mm)
b  = kleine Halbachse (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σx = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σy = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = große Halbachse (mm)
b  = kleine Halbachse (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σx = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σy = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
nach oben

Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Dreieckplatte aufliegend

Plattensteifigkeit
Spannungen
Spannung im Plattenschwerpunkt
Spannungen
Durchbiegung im Plattenschwerpunkt
Durchbiegung
Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf
Spannungen
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = große Halbachse (mm)
b  = kleine Halbachse (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σx = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σy = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)
p  = Flächenbelastung (N/mm²)
a  = große Halbachse (mm)
b  = kleine Halbachse (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm²)
μ  = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm²)
σx = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σy = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f  = Durchbiegung (mm)


nach oben

Scheibe

Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.

Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast


Kreisscheibe

Spannungen
Spannungen
q  = Streckenlast (N/mm)
h  = Scheibendicke (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)
q  = Streckenlast (N/mm)
h  = Scheibendicke (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)

Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen


Kreisringscheibe

Spannungen
Spannungen
qa = Streckenlast außen (N/mm)
qi = Streckenlast innen (N/mm)
ra = Außenradius (mm)
ri = Innenradius (mm)
r  = Radius Spannungsort (mm)
h  = Scheibendicke (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast außen (N/mm)
qi = Streckenlast innen (N/mm)
ra = Außenradius (mm)
ri = Innenradius (mm)
r  = Radius Spannungsort (mm)
h  = Scheibendicke (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben

Kreisringscheibe mit Schubbelastung


Kreisringscheibe

Einwirkende Schubspannung
Spannungen
Spannungen
Spannungen
τa = Schubbelastung außen (N/mm2)
τi = Schubbelastung innen (N/mm2)
ra = Außenradius (mm)
ri = Innenradius (mm)
r  = Radius Spannungsort (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)
τa = Schubbelastung außen (N/mm2)
τi = Schubbelastung innen (N/mm2)
ra = Außenradius (mm)
ri = Innenradius (mm)
r  = Radius Spannungsort (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)

Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung


unendliche Scheibe

Innendruck in der Bohrung
Spannungen
Spannungen
Spannungen
qa = Streckenlast (N/mm)
p  = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h  = Scheibendicke (mm)
ri = Bohrungsradius (mm)
r  = Radius Spannungsort (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast (N/mm)
p  = Druck in der Bohrung (N/mm²)
h  = Scheibendicke (mm)
ri = Bohrungsradius (mm)
r  = Radius Spannungsort (mm)
σr = Radialspannung (N/mm2)
σt = Tangentialspannung (N/mm2)
τrt = Schubspannung (N/mm2)


nach oben

Knickung

Elastische Knickung - Euler

Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken Stäben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen Stäben (λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.

Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen

Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.

Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 3 Lastfall 4
Lastafall 1 Lastafall 2 Lastafall 3 Lastafall 4
lk = 2 * l lk = l lk = 0,7 * l lk = 0,5 * l
Lastafall 1 Lastafall 2 Lastafall 3 Lastafall 4
Fk = Knickkraft (N)
E  = E-Modul (N/mm²)
I   = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
lk = Knicklänge (mm)
l  = Stablänge (mm)
nach oben

Knickspannung und Schlankheitsgrad

Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.

Schlankheitsgrad des Knickstabs
Schlankheitsgrad
Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel
Eulerformel
Grenzschlankheitsgrad für die Gültigkeit der Eulerformel
Grenz-Schlankheitsgrad
Grenz-Schlankheitsgrad
Erforderliches Trägheitsmoment
Trägheitsmoment
λ  = Schlankheitsgrad (-)
lk = Knicklänge (mm)
i  = Trägheitsradius (mm)
I  = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A  = Querschnitt (mm²)
σk = Knickspannung (N/mm2)
E  = E-Modul (N/mm²)
λp = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σdp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
λ  = Schlankheitsgrad (-)
lk = Knicklänge (mm)
i  = Trägheitsradius (mm)
I  = kleinstes axiales Trägheitsmoment (mm4 )
A  = Querschnitt (mm²)
σk = Knickspannung (N/mm2)
E  = E-Modul (N/mm²)
λp = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σdp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
nach oben

Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser

Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr gültig.
Für diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien über der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser durch einen Tangentenmodul berücksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist. Mit der Engesserformel erhält man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).

Knickspannung nach Tetmajer

Tetmajerformel
Werkstoff a b c
S235JR (St37) 0 -1,14 335
E295/E395 (St50/60) 0 -0,62 335
5% Ni-Stahl 0 -2,3 470
GG20 0,053 -12 775
Nadelholz 0 -0,194 29,3

Knickspannung nach Engesser

Engesserformel
Die Gleichung ist iterativ zu lösen.
σk = Knickspannung (N/mm2)
λ  = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σdp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E  = E-Modul (N/mm²)

σk = Knickspannung (N/mm2)
λ  = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σdp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E  = E-Modul (N/mm²)

Knickspannungsverlauf für S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser

Diagramm Knickspannung

Knicksicherheit

Knicksicherheit
Knicksicherheit
Sk = Knicksicherheit (-)
Fk = Knickkraft (N)
Fd = auftretende Druckkraft (N)
σk = Knickspannung (N/mm2)
σd = Druckspannung (N/mm2)
A  = Querschnittsfläche (mm²)
Sk = Knicksicherheit (-)
Fk = Knickkraft (N)
Fd = auftretende Druckkraft (N)
σk = Knickspannung (N/mm2)
σd = Druckspannung (N/mm2)
A  = Querschnittsfläche (mm²)
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