Update: 20.01.2012
Um Schraubenverbindungen rechnerisch und konstruktiv sicher auslegen zu können,
müssen die Kräfte und Verformungen an Schrauben und verspannten Teilen sorgfältig untersucht werden.
Man unterscheidet Axialkraft und Querkraft belastete Schraubenverbindungen (exzentrisch belastete Schraubenverbindungen werden hier nicht behandelt).
- Berechnung der Betriebskraft bzw. der Klemmkraft.
- Aus der Klemmkraft, Setzkraft und Betriebskraft wird die Vorspannkraft errechnet.
- Festlegung des Schraubendurchmessers aus der Vorspannkraft.
- Berechnung der Nachgiebigkeit der Schraube und der verspannten Teile.
- Berechnung des Kräfteverhältnisses und Festlegung des Krafteinleitungsfaktors.
- Berechnung der Vergleichsspannung und der Ausschlagsspannung und mit den zul. Werten vergleichen.
- Wenn die zul. Werte überschritten werden, den Schraubendurchmesser erhöhen und die Berechnung ab der Nachgiebigkeit der Teile neu durchführen.
Berechnungsprogramm
Mit dem Berechnungsprogramm kann eine bestehende Schraubenverbindung überprüft (Gewindedurchmesser ist gegeben),
bzw. den Gewindedurchmesser überschlägig ermitteln werden.
Bei der Berechnung des Gewindedurchmessers werden verschiede Eingabewerte mit den
folgenden Werten vorbelegt.
Nach der ersten Berechnung des Gewindedurchmessers können diese vorbelegten Werte nachträglich geändert werden.
Gewindeabmessungen
Gewindeabmessungen in Abhängigkeit vom Gewindenenndurchmesser und der Steigung für metrische ISO Gewinde. Abmessungen in mm.
| Nenndurchmesser | d |
| Steigung | P |
| Gewindetiefe des Bolzengewindes | h3 = 0,6134 * P |
| Gewindetiefe des Muttergewindes | H1 = 0,5413 * P |
| Rundung | R = 0,1443 * P |
| Flankendurchmesser | d2 = D2 = d - 0,6495 * P |
| Kerndurchmesser des Bolzengewindes | d3 = d - 1,2269 * P |
| Kerndurchmesser des Muttergewindes | D1 = d - 1,0825 * P |
| Flankenwinkel | 60° |
| Spannungsquerschnitt | As = pi/4*[(d3+d2)/2]² |
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φ = Steigungswinkel (Grad)
P = Gewindesteigung (mm) d 2 = Flankendurchmesser (mm) |
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Nachgiebigkeit der Schraube
Durch das Anziehen der Schraubenverbindung wird die Schraube gedehnt und die verschraubten Bauteile gestaucht.
Die Nachgiebigkeit der Schraube und der Bauteile hat einen Einfluss auf die Verteilung der Betriebskraft auf die die einzelnen Teile.
Die Schraubennachgiebigkeit wird ermittelt, in dem die Schraube in verschiedene Einzelelemente aufgeteilt wird.
Für die Schraubenkopf oder Gewindedehnung werden Erfahrungswerte bezogen auf den Nenndurchmesser angesetzt.
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δ S = elastische Nachgiebigkeit gesamte Schraube (mm/N)
δ K = elastische Nachgiebigkeit Schraubenkopf (mm/N) δ i = elastische Nachgiebigkeit Schraubenschaft (mm/N) δ fG = elastische Nachgiebigkeit freies Gewinde (mm/N) δ G = elastische Nachgiebigkeit Gewindekern (mm/N) δ M = elastische Nachgiebigkeit Schrauben- und Muttergewindegänge (mm/N) |
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δ K = elastische Nachgiebigkeit Schraubenkopf (mm/N)
l K = Ersatzdehnlänge Schraubenkopf (mm) E S = E-Modul Schraube (N/mm2) A N = Nennquerschnittsfläche Schraube (mm²) d = Schraubennenndurchmesser (mm) |
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δ i = elastische Nachgiebigkeit Schraubenschaft (mm/N)
l i = Schaftlänge (mm) E S = E-Modul Schraube (N/mm2) A i = Nennquerschnittsfläche Schraube (mm²) d = Schraubennenndurchmesser (mm) |
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δ fG = elastische Nachgiebigkeit freies Gewinde (mm/N)
l fG = Länge freies Gewinde (mm) E S = E-Modul Schraube (N/mm2) A S = Spannungsquerschnitt (mm²) |
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δ G = elastische Nachgiebigkeit eingeschraubtes Gewinde (mm/N)
l G = 0,5 * d = Länge eingeschraubtes Gewinde (mm) E S = E-Modul Schraube (N/mm2) A S = Spannungsquerschnitt (mm²) |
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δ M = elastische Nachgiebigkeit Schrauben- und Muttergewindegänge (mm/N)
l M = 0,4 * d = Ersatzlänge (mm) E S = E-Modul Schraube (N/mm2) A N = Nennquerschnittsfläche Schraube (mm²) |
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Nachgiebigkeit der verspannten Teile
Bei den verspannten Teilen, breitet sich über die Klemmlänge eine tonnenförmige Druckspannung aus. Die Schwierigkeit liegt in der Ermittlung eines Ersatzquerschnitts, da die auf Druck beanspruchten Zonen keinen Zylinder bilden. In den folgenden Formeln wird der Ersatzquerschnitt für einen Zylinder ermittelt, der die Abhängigkeit der seitlichen Ränder berücksichtigt.
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δ P = elastische Nachgiebigkeit der verspannten Teile (mm/N)
l K = Klemmlänge (mm) E P = E-Modul verspannte Teile (N/mm2) A ers = Ersatzquerschnitt (mm²) |
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d a = Durchmesser Druckkegel (mm)
d K = Außendurchmesser Schraubenkopf (mm) A ers = Ersatzquerschnitt (mm²) d i = Bohrungsdurchmesser (mm) l K = Klemmlänge (mm) |
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Klemmkraft
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F K,Q = erf. Klemmkraft bei Querkraftbelastung (N)
F Q = Querkraft (N) S R = Rutschsicherheit (-) μ T = Haftreibwert Trennfuge (-) i = Anzahl Trennfugen (-) n = Anzahl Schrauben (-) |
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F K,erf = erf. Klemmkraft bei Drehmomentbelastung (N)
M = Drehmoment (Nmm) n = Anzahl Schrauben (-) μ T = Haftreibwert Trennfuge (-) d L = Lochkreisdurchmesser (mm) |
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F K,erf = erf. Klemmkraft zum Abdichten eines Mediums (N)
A D = Druckbeaufschlagte Fläche in Axialrichtung (mm²) p max = max. Innendruck (Pa) - 1 bar = 100000 Pa n = Schraubenanzahl (-) |
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Vorauswahl Gewindedurchmesser
Nach Berechnung der Vorspannkraft über die Klemm- und Betriebskraft und den Anziehfaktor, kann aus Tabellen in denen die Vorspannkraft in Abhängigkeit
vom Schraubendurchmesser und der Festigkeitsklasse aufgeführt ist, der entsprechende Schraubendurchmesser festgelegt werden.
Forderung: Fv Tabelle > Fv Rechnung
Beim Anziehen wird die Schraube durch die Vorspannkraft auf Zug, durch das Gewindereibmoment auf Torsion beansprucht.
Beide Größen können erst später berechnet werden. Aus diesem Grund wird zunächst reine Zugspannung angenommen,
hervorgerufen durch die Schraubenkraft (F S = F K + F A).
Auf Grund der nicht berücksichtigten Torsionsspannung wird die zul. Spannung nur ca. 0,6 ... 0,8 * R p0,2 angesetzt.
Unter Berücksichtigung des Anziehfaktors alpha A wird der erforderliche Spannungsquerschnitt wie folgt berechnet:
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A S = Spannungsquerschnitt (mm²)
α A = Anziehfaktor (-) F K = Klemmkraft (N) F A = Betriebskraft (N) ν = Ausnutzung Streckgrenze (-) - ca. 0,6...0,8 R p0,2 = Streckgrenze (N/mm2) |
Vorspannkraft
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F V,min = Mindest Vorspannkraft (N)
F Z = Setzkraft (N) F K = Klemmkraft (N) n = Krafteinleitungsfaktor (-) Φ K = Kraftverhältnis (-) F A = Axialkraft (N) |
Die maximale Vorspannkraft ist gegenüber der min. Vorspannkraft um den Anziehfaktor α A größer. Der Anziehfaktor berücksichtigt die unterschiedlichen Ungenauigkeiten der verschiedenen Anziehverfahren. Um die gewünschte Vorspannkraft tatsächlich zu erreichen, wird die Vorspannkraft um den Anziehfaktor erhöht.
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F V = Maximale Vorspannkraft (N)
α A = Anziehfaktor (-) siehe Tabelle unten F V,min = Mindest Vorspannkraft (N) |
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F V = Vorspannkraft (N)
σ zul = zul. Spannung (N/mm2) A S = Spannungsquerschnitt (mm²) d 2 = Flankendurchmesser (mm) φ° = Steigungswinkel (Grad) ρ° = Gewindereibwert (Grad) W p = pol. Widerstandsmoment (mm³) |
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F V = Vorspannkraft (N)
R p0,2 = Streckgrenze (N/mm²) A S = Spannungsquerschnitt (mm²) |
| Anziehverfahren | Anziehfaktor α A | Streuung der Vorspannkräfte |
| Streckgrenzen- oder Drehwinkelgesteuertes Anziehen motorisch oder manuell | 1,0 | - |
| Mechanische Längenmessung | 1,1 ... 1,5 | ± 5 ... 20% |
| Streckgrenzengesteuertes Anziehen | 1,2 ... 1,4 | ± 9 ... 17% |
| Drehwinkelgesteuertes Anziehen | 1,2 ... 1,4 | ± 9 ... 17% |
| Hydraulische Anziehen | 1,2 ... 1,6 | ± 9 ... 23% |
| Drehmomentschlüssel | 1,4 ... 1,6 | ± 17 ... 23% |
| Drehschrauber | 1,7 ... 2,5 | ± 26 ... 43% |
| Impulsgesteuertes Anziehen mit Schlagschrauber | 2,5 ... 4,0 | ± 43 ... 60% |
Kleinere Anziehwerte für kleine Reibwerte, größere Anziehwerte für größere Reibwerte.
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Kräfte in der Schraubenverbindung
Das Kräfteverhältnis ΦK ist der Quotient aus der Schraubenzusatzkraft F SA und der axialen Betriebskraftkomponente F A
.
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Φ K = Kraftverhältnis (-)
δ P = elastische Nachgiebigkeit der verspannten Teile (mm/N) δ S = elastische Nachgiebigkeit der Schraube (mm/N) F SA = Schraubenzusatzkraft (N) F A = axiale Betriebskraft (N) |
Der Krafteinleitungsfaktor n berücksichtigt die örtliche Einleitung der Betriebskraft in die verspannten Teile.
Je nach Krafteinleitungsort wird ein Teil der verspannten Teile entlastet und der andere Teil gestaucht. Hiermit ändert sich die Steifigkeit der verspannten Teile,
sowie die federnde Länge der Schraube.
Diese Steifigkeitsänderung wird durch den Krafteinleitungsfaktor berücksichtigt.
Bei nicht genauer Kenntnis der Krafteinleitung ist n=0,5 anzunehmen.
Bei Querkraft beanspruchten Schraubenverbindungen, die über Reibschluß die Kräfte übertragen, ist der Krafteinleitungsfaktor n = 0.
Durch die Rauhigkeit der Oberflächen treten Setzungen auf. um diesen Setzbetrag wird die Vorspannkraft vermindert.
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f z = Setzbetrag (mm)
l K = Klemmlänge (mm) d = Nenndurchmesser (mm²) F Z = Vorspannkraftverlust durch Setzen (N) Φ K = Kraftverhältnis (-) δ P = Nachgiebigkeit verspannte Teile (mm/N) |
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F PA = Betriebskraftanteil auf die verspannten Teile (N)
n = Krafteinleitungsfaktor (-) Φ K = Kraftverhältnis (-) F A = axiale Betriebskraft (N) |
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F S,A = Betriebskraftanteil auf die Schraube (N)
n = Krafteinleitungsfaktor (-) Φ K = Kraftverhältnis (-) F A = axiale Betriebskraft (N) |
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F S = Schraubenkraft (N)
F V = Vorspannkraft (N) n = Krafteinleitungsfaktor (-) Φ K = Kraftverhältnis (-) F A = axiale Betriebskraft (N) |
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Spannungen
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σ Z = Zugspannung (N)
F S = Schraubenkraft (N) A S = Spannungsquerschnitt (mm²) |
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τ = Torsionsspannung (N/mm2)
F V = Vorspannkraft (N) d 2 = Flankendurchmesser (mm) φ° = Steigungswinkel (Grad) ρ° = Gewindereibwert (Grad) W P = pol. Widerstandsmoment (mm³) d 3 = Kerndurchmesser (mm) |
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σ V = Vergleichsspannung (N/mm2)
σ Z = Zugspannung (N/mm²) τ = Torsionsspannung (N/mm2) |
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σ a = Ausschlagsspannung (N/mm2)
σ Z,max = max. Zugspannung (N/mm²) σ Z,min = min. Zugspannung (N/mm²) F V = Vorspannkraft (N) F SA,max = Axialkraftanteil auf die Schraube bei max. Betriebskraft (N) F SA,min = Axialkraftanteil auf die Schraube bei min. Betriebskraft (N) A S = Spannungsquerschnitt (mm²) |
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σ a = Ausschlagsspannung (N/mm2)
d = Nenndurchmesser (mm) F m = Mittelkraft der dyn. Betriebskraft (N) F 0,2 = Schraubenkraft an der Streckgrenze (N) |
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Anziehdrehmoment
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M A = Anziehdrehmoment (Nm)
F V = Vorspannkraft (N) d 2 = Flankendurchmesser (mm) ρ° = Gewindereibwert (Grad) φ° = Steigungswinkel (Grad) μ K = Reibwert Kopfauflage (-) d K,R = Reibdurchmesser Kopfauflage (mm) d K = Außendurchmesser Kopfauflage (mm) d i = Bohrungsdurchmesser (mm) |
Bei einem Flankenwinkel von 60° und gleichem Reibwert von Gewinde und Schraubenkopf vereinfacht sich die Formel zu:
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M A = Anziehdrehmoment (Nm)
F V = Vorspannkraft (N) d 2 = Flankendurchmesser (mm) μ ges = Reibwert für Gewinde und Kopfauflage (-) d K,R = Reibdurchmesser Kopfauflage (mm) d K = Außendurchmesser Kopfauflage (mm) d i = Bohrungsdurchmesser (mm) |
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M L = Losdrehmoment (Nm)
F V = Vorspannkraft (N) d 2 = Flankendurchmesser (mm) ρ° = Gewindereibwert (Grad) φ° = Steigungswinkel (Grad) μ K = Reibwert Kopfauflage (-) d K,R = Reibdurchmesser Kopfauflage (mm) d K = Außendurchmesser Kopfauflage (mm) d i = Bohrungsdurchmesser (mm) |
Beim Losreißmoment (Moment um die Schraube in Drehung zu versetzen) sind bei den Reibwerten die Haftreibwerte einzusetzen.
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Pressung
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p K = Flächenpressung Kopfauflage (N/mm²)
F V =Vorspannkraft (N) F S,A = Axialkraftanteil auf die Schraube (N) A p = Pressungsfläche (mm²) d k = Außendurchmesser Kopfauflage (mm) d i = Bohrungsdurchmesser (mm) |
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p G = Flächenpressung im Gewinde (N/mm²)
F S =Schraubenkraft (N) P = Gewindesteigung (mm) l = Gewindelänge (mm) d 2 = Flankendurchmesser (mm) H 1 = Gewindetiefe (mm) xl = Anteil der tragenden Gewindegänge (-) Annahme ca. 0,7 n = Anzahl der Gewindegänge auf der Länge l (-) |
Mindesteinschraubtiefe - Abstreiffestigkeit [1]
Für die Bestimmung der Mindesteinschraubtiefe einer axial belasteten Einschraubverbindung, ist die Abstreiffestigkeit der Gewindegänge maßgebend.
Je nach Werkstoffpaarung verändert sich der Abscherdurchmesser.
Die folgenden Formeln [1] beruhen auf der Annahme, dass die Gewindegänge abgestreift werden und gleichzeitig die Schraube bricht.
Die Formeln sind gültig für metrische und Whitworth-Gewinde.
Nach der Gestaltänderungs-Hypothese von Mises lässt sich die Scherfestigkeit für duktile Werkstoffe wie folgt berechnen:
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τ K = Scherfestigkeit (N/mm²)
R m = Zugfestigkeit (N/mm²) β = Scherspannungsfaktor (-)) |
Der Scherspannungsfaktor für die einzelnen Werkstoffe beträgt:
| Werkstoff | Scherspannungsfaktor β (-) |
| Bolzenwerkstoffe | |
| alle Festigkeitsklassen | β B = 0,577 |
| nichtrostende ferritische Werkstoffe | β B = 0,577 |
| nichtrostende martensitische Werkstoff | β B = 0,577 |
| Mutterwerkstoffe | |
| alle ferritische u. martensitische Werkstoffe |
β M = 0,577 |
| Grauguss GG | β M = 0,9 |
| Sphäroguss GGG | β M = 0,7 |
Welche Werkstoffkennwerte zu verwenden sind, richtet sich nach dem Nachweisziel.
Beim Nachweis der Tragfähigkeit ist die Zugfestigkeit, beim Betriebsnachweis die Streckgrenze einzusetzen.
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τ m,B = Grenz-Scherfestigkeit Bolzen(N/mm²)
R m,B = Zugfestigkeit Bolzen (N/mm²) β B = Scherspannungsfaktor Bolzen(-)) τ m,M = Grenz-Scherfestigkeit Mutter(N/mm²) R m,M = Zugfestigkeit Mutter (N/mm²) β M = Scherspannungsfaktor Mutter(-)) |
Bei unterschiedlichen Werkstoffen verändert sich der Abstreifdurchmesser. Dieser Einfluss berücksichtigt der Werkstoff-Faktor α.
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α B = Werkstoff-Faktor Bolzen (-)
α M = Werkstoff-Faktor Mutter (-) d τ =Durchmesser Abscherzylinder (mm) d 2 = Flankendurchmesser (mm) α = Flankenwinkel (Grad) P = Gewindesteigung (mm) τ m,M = Grenzscherspannung Mutter (N/mm²) τ m,B = Grenzscherspannung Bolzen (N/mm²) |
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d τ = Abstreifdurchmesser (mm)
d 2 = Flankendurchmesser (mm) τ m,M = Grenzscherspannung Mutter (N/mm²) τ m,B = Grenzscherspannung Bolzen (N/mm²) P = Gewindesteigung (mm) α = Flankenwinkel (Grad) |
Beim Tragfähigkeitsnachweis wird als Belastung die Bruchlast (Zugfestigkeit) des Bolzens angenommen.
Beim Betriebsnachweis ist als Belastung die max. Vorspannkraft F v,max anzusetzen.
Als zul. Abscherspannung wird die aus der Streckgrenze errechnete Scherspannung angesetzt.
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F m,B = Belastung Bolzen (N)
R m,B = Zugfestigkeit Bolzen (N/mm²) A s = Spannungsquerschnitt (mm²) F v,max = max. Vorspannkraft (N) |
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A τ = Abstreifzylinder (mm²)
F m,B = Belastung (N) τ m,M = Grenzscherspannung Mutter (N/mm²) τ m,B = Grenzscherspannung Bolzen (N/mm²) |
Zur theoretischen mindest Einschraubtiefe ist ein Zuschlag von 5% für Gewindetoleranzen und Gewindeanfänge zu machen.
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m min = mindest tragende Einschraubtiefe (mm)
Aτ = Abstreifzylinder (mm²) d τ = Abstreifdurchmesser (mm) |
Um eine Aufweitung des Muttergewindes zu verhindern, sollte der Außendurchmesser des Muttergewindes folgende Werte aufweisen:
| Werkstoff | Außendurchmesser |
| Stahl | Da = 2,5 * d |
| GGG | Da = 3,0 * d |
[1] Prof. Dr. W. Schwarz - Nachweis der Abstreifsicherheit axial beanspruchter Einschraubverbindungen
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