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Update:  05.06.2017

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Festigkeitsberechnungen

Spannungsarten

Normalspannung (Zug-Druck)
Normalspannung Zugspannung
Biegespannung

Biegespannung Biegespannung
Torsionsspannung

Torsionsspnnung Zugspannung
Dynamische Spannungswerte

Spannungsamplitude
Ausschlagsspannung
Mittelspannung
Mittelspannung
σN = Normalspannung (N/mm²) - Zug/Druck
FN = Normalkraft (N)
A  = Querschnittsfläche (mm²)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σa = Spannungsamplitude (N/mm²)
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²)
σu = Unterspannung (N/mm²)

Spannungsverlauf
σN = Normalspannung (N/mm²) - Zug/Druck
FN = Normalkraft (N)
A  = Querschnittsfläche (mm²)
σb = Biegespannung (N/mm²)
Mb = Biegemoment (Nmm)
Wb = Biege-Widerstandsmoment (mm³)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wt = Torsions-Widerstandsmoment (mm³)
σa = Spannungsamplitude (N/mm²)
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σo = Oberspannung (N/mm²)
σu = Unterspannung (N/mm²)

Spannungsverlauf
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Dehnungen und Spannungen für dreiachsigen Spannungszustand

3D Spannungszustand
3D Spannungszustand
ε x = Dehnung in X-Richtung (-)
ε y = Dehnung in Y-Richtung (-)
ε z = Dehnung in Z-Richtung (-)
E   = E-Modul (N/mm²)
ν   = Querkontraktionszahl (-)
σx = Spannung in X-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in Y-Richtung (N/mm²)
σz = Spannung in Z-Richtung (N/mm²)
ε x = Dehnung in X-Richtung (-)
ε y = Dehnung in Y-Richtung (-)
ε z = Dehnung in Z-Richtung (-)
E   = E-Modul (N/mm²)
ν   = Querkontraktionszahl (-)
σx = Spannung in X-Richtung (N/mm²)
σy = Spannung in Y-Richtung (N/mm²)
σz = Spannung in Z-Richtung (N/mm²)

Mohrscher Spannungskreis

Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt.
Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich wie folgt konstruieren.
Gegeben: σx, σy, τxy - (σx > σy)
1. Punkt P1 (σxxy) und Punkt P2 (σy|-τxy) in das Koordinatensystem einzeichnen.
2. Punkt P1 mit P2 verbinden.
3. Der Schnitt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ist der Kreismittelpunkt σm
4. Kreis mit dem Mittelpunkt σm durch die Punkte P1 und P2 zeichnen
5. Die Hauptspannungen liegen auf der σ-Achse am äußersten Rand des Kreises (τxy = 0).

Spannungskreis

Der Winkel 2α∗ zwischen Verbindungslinie und σ-Achse sagt aus, dass wenn man das Koordinatensystem X-Y entgegen des Uhrzeigersinn um den Winkel α∗ dreht, die Normalspannungen dort ihre Extremwerte annehmen. Die Richtung der Hauptspannungen σ1 wird bestimmt, indem σ2 mit dem Punkt P1 verbunden wird. Die Richtung der Hauptspannung σ2 wird bestimmt, indem σ1 mit dem Punkt P1 verbunden wird.

Spannungskreis

Kreisradius
Spannungskreis Radius
Mittelspannung
Spannungskreis Mittelspannung
Hauptspannungen
Spannungskreis Hauptspannungen
Max. Schubspannung
Spannungskreis Schubspannung
Spannungsrichtungen
Spannungskreis Spannungsrichtung
r = Kreisradius
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σx = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σy = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τxy = Schubspannung (N/mm²)
σ1 = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ2 = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α* = Hauptspannungrichtung (N/mm²)
r = Kreisradius
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σx = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σy = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τxy = Schubspannung (N/mm²)
σ1 = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ2 = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α* = Hauptspannungrichtung (N/mm²)

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Spannungstransformation

Um die Spannungen zu ermitteln, die in einem anderen Winkel φ zur Normalspannungsebnen liegen, sind die unten aufgeführten Formeln zu verwenden.
Folgende Spannungen müssen bekannt sein: σx, σy, τxy


Spannungstransformation
Spannungstransformation
φ = Transformationswinkel (Grad)
σx* = Spannung in X*-Richtung (N/mm²)
σy* = Spannung in Y*-Richtung (N/mm²)
τxy* = Schubspannung (N/mm²)
σx = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σy = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τxy = Schubspannung (N/mm²)
r = Kreisradius
σm = Mittelspannung (N/mm²)
σx = Normalspannung in X-Richtung (N/mm²)
σy = Normalspannung in Y-Richtung (N/mm²)
τxy = Schubspannung (N/mm²)
σ1 = 1. Hauptspannung (N/mm²)
σ2 = 2. Hauptspannung (N/mm²)
α* = Hauptspannungrichtung (N/mm²)



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Vergleichsspannungs-Hypothesen

Werkstoffkennwerte, d.h. zulässige Spannungen, werden meist bei einem einachsiger Spannungszustand ermittelt.
Um einen zwei- oder dreiachsigen Spannungszustand mit diesen Werkstoffkennwerten vergleichen zu können, wird die Vergleichsspannung eingeführt.

Schubspannungs-Hypothese (SH)
Diese Gleichung wird dann angewendet werden, wenn man die maximale Schubspannung der Spannungsebene einsetzt. Verwendet wird die Schubspannungshypothese bei zähen Werkstoffen, die unter Schubspannung versagen.

Gestalt-Änderungs-Hypothese (GEH)
Verwendet wird diese Hypothese für zähe Werkstoffe (z.B. Stahl) unter ruhender und wechselnder Beanspruchung. Diese Vergleichsspannung wird im Maschinenbau und im Bauwesen am häufigsten eingesetzt.

Schubspannungs-Hypothese (SH)
Vergleichsspnnung SH
Gestalt-Änderungs-Hypothese
Vergleichsspnnung GEH
Vergleichsspannung bei Biegung und Torsion
Vergleichsspnnung
σv,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σv,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σN = Normalspannung (N/mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
σb = Biegespannung (N/mm²)
σv,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σv,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σN = Normalspannung (N/mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
σb = Biegespannung (N/mm²)
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Anstrengungsverhältnis

Der Einfluss wechselnder Beanspruchung auf die Festigkeit wird durch das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt.

Anstrengungsverhältnis
Anstrengungsverhältnis

φ ≈ 1 für NH

φ ≈ 2 für SH

φ ≈ √3 für GEH

Vergleichsspannung mit Anstrengungsverhältnis
Vergleichsspnnung

Anstrengungsverhältnis für Stahl allgemein
BiegungTorsionAnstrengungs-
verhältnis α0
wechselndruhend
wechselnd
0,7 - Baustahl
0,63 - Vergütungsstahl
0,77 - Einsatzstahl
wechselndwechselnd1,0
schwellendschwellend1,0
ruhendruhend1,0
ruhendwechselnd1,6
α0 = Anstrenungsverhältnis (-)
φ  = Faktor für Festigkeitshyphothese (-)
σzul = zulässige Normalspannung (N/mm²)
τzul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
σv,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σv,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σb = Biegespannung (N/mm2)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
α0 = Anstrenungsverhältnis (-)
φ  = Faktor für Festigkeitshyphothese (-)
σzul = zulässige Normalspannung (N/mm²)
τzul = zulässige Torsionsspannung (N/mm²)
σv,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σv,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σb = Biegespannung (N/mm2)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)


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Allgemeine Festigkeitswerte

Dauerfestigkeitswerte

Liegen keine Festigkeitswerte vor, können Näherungsweise für Stahlwerkstoffe die in der folgenden Tabelle aufgeführte Werte angesetzt werden.

Liegt die Festigkeit durch die Brinellhärte vor, kann als Mittelwert folgende Umrechnung benutzt werden.

Rm ≈ 3,2 * HHB - vergütete und einsatzgehärtete Stähle
Rm ≈ 3,4 * HHB - weichgeglühte normalisierte Stähle

Rm = Zugfestigkeit (N/mm²)
HHB = Brinellhärte
Rm = Zugfestigkeit (N/mm²)
HHB = Brinellhärte

Werkstoff Zug 2) Biegung 1) Torsion 1)
σW σSch σbW σbSch σbF τtW τtSch τtF
Baustahl 0,45 Rm 1,3 σW 0,49 Rm 1,5 σbW 1,5 Re 0,35 Rm 1,1 τtW 0,7 Re
Vergütungsstahl 0,41 Rm 1,7 σW 0,44 Rm 1,7 σbW 1,4 Re 0,30 Rm 1,6 τtW 0,7 Re
Einsatzstahl 0,40 Rm 1,6 σW 0,41 Rm 1,7 σbW 1,4 Re 0,30 Rm 1,4 τtW 0,7 Re
Grauguss 0,25 Rm 1,6 σW 0,37 Rm 1,8 σbW - 0,36 Rm 1,6 τtW -
Leichtmetall 0,30 Rm - 0,40 Rm - - 0,25 Rm -

1) Für polierte Rundproben von etwa 10 mm Druchmesser
2) Für Druck ist σSch größer, z.B. für Grauguß σdSch ≈ 3 . σSch


Festigkeitswerte Belastungsart
Rm Zugfestigkeit Zug
Re Streckgrenze Zug
σW Wechselfestigkeit Zug
σSch Schwellfestigkeit Zug
σbW Wechselfestigkeit Biegung
σSch Schwellfestigkeit Biegung
σbF Fließgrenze Biegung
τtW Wechselfestigkeit Torsion
τtSch Schwellfestigkeit Torsion
τtF Fließgrenze Torsion

Zulässige Pressungswerte N/mm² - [2]
Werkstoffart ruhende Belastung schwellende Belastung
Zähe
Werkstoffe
zul. Pressung zul. Pressung
Spröde
Werkstoffe
zul. Pressung zul. Pressung

σdF = Druck Fließgrenze (N/mm²)
σdB = Bruchfestigkeit (N/mm²)

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Zulässige Pressungswerte bei Festsitze N/mm² - [2]
Werkstoffpaarung ruhende schwellende wechselnde
Stahl Rm=500 N/mm2 / Bronze 32 22 16
Stahl Rm=500 N/mm2 / GJL 70 50 32
Stahl Rm=500 N/mm2 / GS 80 56 45
Stahl Rm=500 N/mm2 / Stahl Rm=370 N/mm2 90 63 45
Stahl Rm=500 N/mm2 / Stahl Rm=500 N/mm2 125 90 56
Stahl gehärtet / Stahl Rm=600 N/mm2 160 100 63
Stahl gehärtet / Stahl Rm=700 N/mm2 180 110 70

Zulässige Flächenpressung für Gleitsitze bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten N/mm² - [2]
Werkstoffpaarung harte und geschliffene Bolzenoberfläche (Ra ca. 0,4 μm) fremdgeschmiert.
Werkstoffpaarung ruhende schwellende
Stahl Rm=500 N/mm2 / GJL 5 3,5
Stahl Rm=500 N/mm2 / GS 7 4,9
Stahl Rm=500 N/mm2 / Bronze 8 5,6
Stahl gehärtet / Bronze 10 7
Stahl gehärtet / Stahl gehärtet 25 17,5

Rm = Zugfestigkeit (N/mm²)

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Zulässige Hertzsche Pressung bei dynamischer Belastung nach Niemann
Kontaktart zul. Hertsche Pressung N/mm²
Linienberührung pmax,zul,dyn = 3 * HB
Punktberührung pmax,zul,dyn = 5,25 * HB

Zulässige Hertzsche Pressung für rollende Anwendung
Überrollungen Beanspruchbarkeit
Dauerfestigkeit N ≥ 2*106 pmax,zul,dyn = 3 * HB
Zeitfestigkeit 105 < N < 2*106 pmax,zul,dyn = 3 * HB * (2*106 /N)0,2
Kurzzeitfestigkeit N ≤ 105 pmax,zul,dyn = 5,4 * HB

pmax,zul,dyn = dauerhafte ertragbare Hertzsche Pressung (N/mm²) (33 Millionen Überrollungen) 
HB  = Brinellhärte (HB)
N  = Anzahl Überrollungen

[2] B. Schlecht - Maschinenelemente Tabellen und Formelsammlung Band 3



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Kerbwirkung - Kerbformzahl

Die Spannung in einem Bauteil hängt auch von der Form des Bauteils ab. Insbesondere im Bereich konstruktiv bedingter Kerben kommt es örtlich zu Spannungskonzentrationen. Infolge der Verformungsbehinderung ergeben sich im Kerbgrund Spannungsspitzen, die über den Nennspannungen des ungestörten Bauteils liegen.
Die Kerbformzahl α k ist nur von der Kerbform und der Beanspruchungsart, nicht von den Werkstoffeigenschaften abhängig.

Kerbformzahl

Zug / Druck
Kerbformzahl Zug
Biegung
Kerbformzahl Biegung
Torsion
Kerbformzahl Torsion
αk = Kerbformzahl Zug-Druck (-)
σmax = max. Normalspannung (N/mm²)
σn = Normalspannung (N/mm²)
αkb = Kerbformzahl Biegung (-)
σbmax = max. Biegespannung (N/mm²)
σb = Biegespannung (N/mm²)
αkt = Kerbformzahl Torsion (-)
τtmax = max. Torsionsspannung (N/mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)

Kerbspannung
αk = Kerbformzahl Zug-Druck (-)
σmax = max. Normalspannung (N/mm²)
σn = Normalspannung (N/mm²)
αkb = Kerbformzahl Biegung (-)
σbmax = max. Biegespannung (N/mm²)
σb = Biegespannung (N/mm²)
αkt = Kerbformzahl Torsion (-)
τtmax = max. Torsionsspannung (N/mm²)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)

Kerbspannung
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Kerbwirkungszahl

Bei wechselnder Beanspruchung kann es durch das begrenzte Formänderungsvermögen zu keinem dauerhaften Spannungsabbau kommen. Zur Auslegung dynamisch beanspruchter Bauteile wird daher die Kerbwirkungszahl βk als Verhältnis der Dauerfestigkeit σD eines glatten, polierten Stabes zur Dauerfestigkeit σDk der glatten Probe herangezogen.
Die Kerbwirkungszahl βk ist abhängig von der Beanspruchungsart, der Kerbform sowie vom Werkstoff und wird experimentell ermittelt.


Bei bekannter Kerbformzahl kann als Näherungswert mit folgender empirischer Formel gerechnet werde.
Kerbwirkungszahl
Kerbwirkungszahl
βk = Kerbwirkungszahl (-)
αk = Kerbformzahl (-)
ηk = Stützziffer (-)
Rp0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
Rm = Zugfestigkeit (N/mm2)
r  = Kerbradius (mm)
βk = Kerbwirkungszahl (-)
αk = Kerbformzahl (-)
ηk = Stützziffer (-)
Rp0,2 = Streckgrenze (N/mm²)
Rm = Zugfestigkeit (N/mm2)
r  = Kerbradius (mm)


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Einflussfaktoren auf die Dauerfestigkeit

Bei der Berechnung der Dauerfestigkeit eines Bauteils sind verschiedene Einflussfaktoren zu berücksichtigen:

- Technologischer Größeneinflussfaktor K1
Der Faktor K1 berücksichtigt, dass die erreichbare Härte beim Vergüten bzw. Einsatzhärten mit steigendem Durchmesser abnimmt.

- Geometrischer Größeneinflussfaktor K2
Der geometrische Größeneinflussfaktor K2 berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser oder Dicken die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit übergeht und analog auch die Torsionswechselfestigkeit sinkt.

- Einflussfaktor Oberflächenrauigkeit Kf
Der Einflussfaktor Kf der Oberflächenrauheit, berücksichtigt den zusätzlichen Einfluss der Rauheit auf die örtlichen Spannungen und damit auf die Dauerfestigkeit des Bauteils.

- Einflussfaktor für Oberflächenverfestigung Kv
Der Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung Kv berücksichtigt den Einfluss (Eigenspannung, Härte) des veränderten Oberflächenzustandes durch das jeweilige technologische Verfahren auf die Dauerfestigkeit.

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Gestaltfestigkeit

Bei der Gestaltfestigkeit werden Einflüsse wie Kerbwirkung, Größen- und Oberflächeneinfluss, welche die Festigkeit beeinträchtigen, bei der Berechnung der Gestaltfestigkeit, berücksichtigt.

Vergeleichs-Mittelspannung
Aus den Beanspruchungsspannungen des Bauteils wird die Vergleichs-Mittelspannung ermittelt.

Bauteil-Wechselspannung
Aus dem zul. Festigkeitswert des Werkstoffes wird an Hand der Einflussfaktoren die Bauteil-Wechselspannung berechnet.

Mittelspannungsempfindlichkeit
Zur Kennzeichnung des Einflusses der Mittelspannung auf die dauernd ertragbare Spannungsamplitude wird mit der Mittelspannungsempfindlichkeit berücksichtigt.

Sicherheit bei Ermüdungsbruch
Unter Berücksichtigung der auftretenden Beanspruchungsspannungen und der Bauteil-Ausschlagfestigkeit wird der Sicherheitswert berechnet.

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Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith

Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubild wenn σw, Rm und Re gegeben ist

Dauerfestigkeitsschaubild
Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Rm und Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie (κ=+1)
4. von P3 nach links σw/2 auftragen (P4)
5. Linie von P1 nach P4
6. Bei Re waagrechte von P5 nach P6
7. Vertikaler Abstand von P6 zur 45° Linie (P7) ermitteln und nach unten auftragen (P8)
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden
Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Rm und Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie
4. von P3 nach links σw/2 auftragen (P4)
5. Linie von P1 nach P4
6. Bei Re waagrechte von P5 nach P6
7. Vertikaler Abstand von P6 zur 45° Linie (P7) ermitteln und nach unten auftragen (P8)
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden

Konstruktion eines Dauerfestigkeitsschaubild wenn σschw und Re gegeben ist

Dauerfestigkeitsschaubild
Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie (κ=+1) Schnittpunkt ergibt P3
4. Auf der σm Achse σschw/2 auftragen P4
5. Senkrecht über P4 ergibt auf der Linie κ=0 Punkt P5
6. Schnittpunkt mit Linie P1 und P5 mit Re ergibt P6
7. Von P6 senkrecht nach unten und Schnittpunkt mit Linie von P2 und P4 ergibt P7
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden
Konstruktionsablauf für das Dauerfestigkeitsdiagramm
1. Waagrechte Linie für Re
2. P1 und P2 für +σw u. -σw
3. 45° Linie (κ=+1) Schnittpunkt ergibt P3
4. Auf der σm Achse σschw/2 auftragen P4
5. Senkrecht über P4 ergibt auf der Linie κ=0 Punkt P5
6. Schnittpunkt mit Linie P1 und P5 mit Re ergibt P6
7. Von P6 senkrecht nach unten und Schnittpunkt mit Linie von P2 und P4 ergibt P7
8. Rote Verbindungslinien mit den einzelnen Punkt wie dargestellt verbinden
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Vergleichsspannung dünnwandiges Rohr unter Innendruck

Innendruck und Torsion
Rohr p und Torsion
Rohr p und Torsion
Innendruck und Biegung
Rohr p und Torsion
Rohr p und Torsion
σv,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σv,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σx = Axialspannung (N/mm2)
σy = Tangentialspannung (N/mm2)
σb = Biegespannung (N/mm2)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
pi = Innendruck (N/mm²)
di = Innendurchmesser (mm)
s  = Rohrwandstärke (mm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wp = polares Widerstandsmoment (mm³)
σv,SH = Vergleichsspannung SH (N/mm2)
σv,GEH = Vergleichsspannung GEH (N/mm2)
σx = Axialspannung (N/mm2)
σy = Tangentialspannung (N/mm2)
σb = Biegespannung (N/mm2)
τt = Torsionsspannung (N/mm²)
pi = Innendruck (N/mm²)
di = Innendurchmesser (mm)
s  = Rohrwandstärke (mm)
Mt = Torsionsmoment (Nmm)
Wp = polares Widerstandsmoment (mm³)
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